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Théorie des ensembles - surjection
Bonsoir,
je bloque sur l'exo suivant:
Soient E,F,G trois ensembles.
f: E -> F
g: F -> G deux applications.
On considère h: E -> FxG définie par:
a) Montrer que si f et g injective alors h est injective.
J'ai trouvé la démonstration suivante:
Donc si f(x)
f(x') alors (f(x),g(x)) (f(x'),g(x')) => x x' car f injective.
Donc
Donc h injective.
b) On suppose f,g surjective. h est-elle nécessairement surjective?
J'ai pensé qu'on pourrait utiliser f=g=idE avec E qui a au moins deux éléments mais bon... on aurait quand au moins un antécédent donc il faut une autre hypothèse.
Merci par avance de votre aide,
JFK
Bonjour,
a) c'est plus clair dans l'autre sens.
Si h(x)=h(x') alors (f(x),g(x))=(f(x'),g(x')) ie f(x)=f(x') et g(x)=g(x') ie x=x' par injectivité.
b) Pourquoi f=g=IdE?
a) OK
b) Je ne sais pas, c'était une idée en fait pour se retrouver avec h(x) = (f(x);f(x)) et essayer d'avoir un antécédent unique... mais je dois faire erreur, parce que du coup ca suppose que F=G=E enfin c'est un peu tordu non?
La b) est fausse évidemment, il faut exhiber un contre exemple, j'ai la flemme de chercher mais je te montre où il faut regarder.
soit (a,b) élément de FxG
On cherche un x tel que h(x)=(a,b), ie f(x)=a et g(x)=b
La surjectivité de f montre qu'il existe x tel que f(x)=a, mais rien ne nous dit que l'image de ce x par g est b.
Non plus, au contraire en fait, tu viens d'exhiber un bon contre exemple.
Si f=g, on doit avoir f(x)=a et f(x)=b
A partir du moment où a et b sont distincts, c'est un peu dur pour x d'avoir deux images non?
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