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Théorie des groupes

Posté par
fusionfroide 19-09-07 à 21:16

Salut ^^

Soit \approx la relation d'équivalence sur \mathbb{Z} définie par :

x\approx y si et seulement si x^2 \equiv y^2 (mod 6)

On désigne par [x]=\{y \in \mathbb{Z} / x \approx y}

Je dois montrer que l'opération [x].[y]=[xy] est bien définie.

Quelle est la méthode à suivre ?

Merci ^^

Posté par
ottore : Théorie des groupes 19-09-07 à 21:28

Bonjour.
Tu dois montrer que ca ne dépend pas du représentant que tu choisis .

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie des groupes 19-09-07 à 21:28

re fusionfroide

il faut montrer que si [x]=[x'] et [y]=[y'], alors [xy]=[x'y'] (bref, il faut montrer que le résultat ne dépend pas du choix des représentants des différentes classes).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie des groupes 19-09-07 à 21:28

Salut otto !

Posté par
ottore : Théorie des groupes 19-09-07 à 21:29

Salut,
ca fait un petit bout que je ne te voyais plus...

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie des groupes 19-09-07 à 21:30

otto > effectivement. un peu plus occupé en ce moment !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:13

Merci à vous deux pour vos réponses !

Bon c'est parti !

Supposons que [x]=[x^'] et [y]=[y^']

Montrons que [xy]=[x^'y^']

[x]=[x^'] \Longleftrightarrow x \approx x^' \Longleftrightarrow \exist k \in \mathbb{Z} tel que x^2-x^2'=6k

[y]=[y^'] \Longleftrightarrow y \approx y^' \Longleftrightarrow \exist k \in \mathbb{Z} tel que y^2-y^2'=6k

Et ensuite ?

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:15

Mince c'est pas le même k bien sûr !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:24

Re!

Alors appelle k' le deuxième, et calcule D=(xy)²-(x'y')² en remplaçant x'² par x²-6k et y'² par y²-6k' .

Tu obtiens facilement que D est multiple de 6, ainsi (xy)² et (x'y')² sont congrus modulo 6, ce qui prouve que [(xy)²] ne dépend pas du choix de x et de y dans [x] et dans [y].

OK?


Tigweg

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:28

Merci c'est très clair !!

Et pour l'addition, on a D=(x+y)²-(x'+y')² ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:32

Oui exactement!
Je t'en prie!

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:32

Merccccci

Bonne soirée alors !!

Encore beaucoup de boulot pour demain ??

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:33

Lol oui!Une interro à corriger, 2 cours à préparer, faire un sujet d'interro et son corrigé!Gloups^^
Merci toi aussi!

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:36

oulala je préfère ma vie de faqueux !! mdr

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:37

Moi aussi je préférais, tout bien réfléchi!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:42

Salut tigre

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:42

hey monrow !!

Ca va ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:45

Salut FF

Ca fait longtemps... le temps des défis..

très bien.., tout marche bien chez toi ?

Posté par
H_aldnoerre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:46

Je m'inscruste !

Je comprend vraiment pas pourquoi très souvent on doit vérifier l'indépendance du choix des représentants. Ca peut paraître stupide, mais à quoi cela sert-il ? On a fait un cours pour déterminer Q=Frac(Z) je crois et ici aussi il fallait démontrer l'indépendance du chois des représentants !

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:46

Oui tout est hoquet ! mdr

Bon courage pour ta prépa !! Tu verras, ça passe très vite en fin de compte !

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:47

Salut H_aldnoer !

Tout simplement pour montrer que les opérations sont bien définies.

Dans mon exo, tu remarqueras que l'addtition n'est en fait pas définie !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:49

Merci FF... Ah, ce n'est que le début, c'est fatiguant.. il faut s'habituer

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 20-09-07 à 21:55

Salut monrow et H!

Content de vous voir!

Pas envie de bosser moi


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