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Théorie des groupes

Posté par
fusionfroide 25-10-07 à 21:48

Salut

Je bloque totalement sur cet exo !

Soit G un groupe abélien d'ordre p_1p_1...p_n où p_1,...,p_n sont des nombres premiers distincts deux à deux.

Montrer que G est cyclique.

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Nightmarere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:08

Salut

On peut démontrer qu'il existe seul sous groupe Hi de G d'ordre pi et que G est isomorphe au produit direct des Hi ce qui permet de conclure.

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:11

Salut Jord !

Bien vu, et comment démontres-tu l'existence d'un tel H_i ?

Posté par
Nightmarere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:13

Tu as vu le théorème de Kronecker? Si oui s'en est une application directe.

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:15

Ah nan pas vu !
Juste le théorème de Cauchy...

Posté par
Nightmarere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:19

Ah, ben je cherche une autre preuve alors !

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:22

Te casses pas la tête si tu as autre chose à faire ^^

C'est pas urgent, juste des petites questions...


Merci en tout cas !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:23

Bonsoir

Attention, un produit de groupes cycliques n'est pas cyclique en général!
Exemple: Z/2Z X Z/2Z

Quelles sont tes connaissances fusionfroide?
Etes-vous allés jusqu'à Sylow ou jusqu'au théorème de structure des groupes abéliens de type fini?

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:26

Salut Tigweg ! Mes connaissances n'ont point de limites !!



Nan sérieusement je n'ai encore abordé aucune des deux notions citées.

J'essaie de faire des exos d'un bouquin en fait et je crois que je suis allé trop loin

M'enfin si vous trouver une preuve sympa, je suis preneur !

Merci

Posté par
tizere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:28

Bonjour,
cela s'appelle le lemme de Cauchy, démonstration:
(x_1,...,x_k) une partie de génératrice du groupe avec o(x_i)=\lambda_i.
Soit f : <x_1>\times ...\times <x_k>\to G qui à (y_1,...,y_k) associe \prod\limits_{i=1}^{k}y_i.
f est surjective car la partie est génératrice.
f est un morphisme car le groupe est abélien.
Donc p divise \prod\limits_{i=1}^{k}\lambda_i et puisque p est premier il existe i tel que \lambda_i=p.\alpha et x_i est donc d'ordre p.\alpha et x_i^\alpha est d'ordre p.

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:30

Merci tize !

Posté par
tizere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:31

Pour compléter la bonne remarque de Tiweg :
si les nombres premiers sont distincts alors (lemme chinois) le produit est cyclique...

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:31

Juste une chose :

Citation :
f est un morphisme car le groupe est abélien


Est-ce une propriété ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:37

Bon y a un truc simple sinon

Dans chaque Hi de cardinal pi, tout élément xi différent du neutre e engendre Hi donc est d'ordre pi.

Comme G est abélien, l'ordre du produit x=x1x2...xn est égal au ppcm des ordres des xi tjs vrai), or les pi sont prmeiers entre eux dans leur ensemble, donc ce ppcm vaut p1p2...pn=|G|.

Ainsi G est cyclique,engendré par x.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:38

Bonsoir tize, oui ta démonstration est plus élégante

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:40

Merci les gars, c'est vraiment sympa de pouvoir compter sur vous !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:42

Pour ma part, avec plaisir!

Posté par
fusionfroidere : Théorie des groupes 25-10-07 à 22:43

Citation :
Est-ce une propriété ?


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