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Théorie des Groupes
Bonjour, j'aimerai avoir une vérification sur un exercice :
L'énoncé :
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes distingués de G. On suppose que #H et #K sont premiers entre eux.
1) Montrer que pour tout h dans H et pour tout k dans K, hk=kh
2) Construire un morphisme injectif H x K 
G
Pour la 1) j'ai utilisé le fait que H soit distingué dans G, alors pour tout g dans G et pour tout h dans H on a gh=hg . C'est donc vrai pour tout les k dans K ( car K
G )
Pour la 2) Est ce que le morphisme
: HxK G
(h;k)
h*k
fonctionne ?
Ca me parait bizarre de ne pas utiliser le fait que #H et #K soient premiers.
Merci
Bonjour,
eci est faux :
" j'ai utilisé le fait que H soit distingué dans G, alors pour tout g dans G et pour tout h dans H on a gh=hg ."
Ce qui est vrai : pour tout g dans G et tout h dans H, il existe h' dans H tel que gh=h'g.
Une piste : essayer de montrer que . Cet élément est-il dans
? dans
?
À partir de là tu devrais voir comment utiliser le fait que et
sont d'ordres premiers entre eux.
Ca fait plusieurs minutes que j'essaye, en vain, de montrer que
hkh-1k-1=e
J'ai essayer de faire apparaitre des éléments g et g-1 de G
pour me ramener à un h' de H et k' de K mais ca n'a pas l'air dêtre la bonn eméthode.
Okay je pense avoir trouvé:
le commutateur appartient à H et K, donc appartient à H
K .
Il reste donc à montrer que HK = {e}
L'inclusion réciproque est immédiate car H et K sont des sous groupes de G.
Pour ce qui est de l'autre inclusion, on uilise la réciproque du théorème de Lagrange : l'ordre de tout élément divise le cardinal du groupe.
Donc si on prend x dans l'intersection, x appartient à H et K.
Donc l'ordre de x divise l'ordre de H et K. Or comme les ordres de H et K sont premiers entre eux, on a que (ordre de x) = 1 , d'ou x={e}
Est ce qu'on est bon?
Et pour mon morphisme ? Celui que j'avais donné est-il correcte?
Merci.
Tu aurais pu raisonner en utilisant le fait que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe.
Tu n'as pas fait ressortir dans ton raisonnement l'endroit où tu utilises l'hypothèse que et
sont distingués. Il ne faut pas le passer sous silence.
Enfin, vérifier qu'une application est un morphisme de groupes, normalement tu dois pouvoir le faire. Reste à voir après qu'il est bien injectif, c.-à-d. que son noyau est réduit à l'élément neutre.
Il est bien injectif.
En effet, si (h,k) = e 
h*k=eh=k-1.
on a donc un élément de H égal à un élément de K. Donc ces deux éléments appartiennent à l'intersection HK , ils sont donc égal à l'élément neutre par la question qui précède.
Je vous remercie pour votre aide précieuse.
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