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Toujours les suites

Posté par Johan (invité) 11-03-04 à 15:05

Si quelqu'un pourrait m'aider, ce serait génial, on vient
d'à peine commencer les suites et je suis plus que surpassé,
si vous savez pas tout faire, c'est pas grave, mais je sais
même pas faire la première question


Soit f la fonction définie sur ]½ ; +infini [ par f(x) = x²/(2x - 1)

On peut donc définir la suite (Un) par U0 = 2; Un+1 = f(Un). On veut
exprimer Un en fonction de n.

On considère les suites (Vn) et (Wn) telles que, pour tout entier naturel
n :

Vn = (Un - 1)/Un    et    Wn = ln(Vn)


a) Vérifier que Vn et Wn sont définies pour tout entier naturel n.
b) Exprimer V(n+1) en fonction de Un.
c) Démontrer alors que la suite Wn est géométrique.
d) En déduire l'expression de Wn en fonction de n, puis celle de
Vn, et enfin celle de un.
e) Déterminer la limite de la suite Un.

Posté par (invité)re : Toujours les suites 11-03-04 à 15:29

b) V(n+1)=((U(n+1))-1)/U(n+1)

Posté par Johan (invité)Toujours les suites 11-03-04 à 15:34

merci pour la b)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Toujours les suites 11-03-04 à 15:51

a)
Il faut montrer que Un est toujours différent de 0 et que Vn > 0.
Essaie.
-----
b)

V(n) = (U(n) - 1)/U(n)    
V(n+1) = (U(n+1) - 1)/U(n+1)
V(n+1) = (f(U(n)) - 1)/f(U(n))
V(n+1) = ((U(n))²/(2U(n)-1) - 1)/((U(n))²/(2U(n) -1))
V(n+1) = 1 - [1/((U(n))²/(2U(n) -1))]
V(n+1) = 1 - [(2U(n)-1)/(U(n))²]
V(n+1) =  (U(n))² - 2U(n) +1)/(U(n))²
V(n+1) =  (U(n) - 1)²/(U(n))²    
V(n+1) = [(U(n) - 1)/U(n)]²  
-----
c)
W(n) = ln(V(n))
W(n+1) = ln(V(n+1))
W(n+1) = ln([(U(n) - 1)/U(n)]²)
W(n+1) = 2.ln([(U(n) - 1)/U(n)])
W(n+1) = 2.ln(V(n))
W(n+1) = 2.W(n)
Et donc Wn est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme
w(0) = ln(V(0)) = ln((U(0) - 1)/U(0)) = ln(1/2) = -ln(2)
-----
d)
-> Wn = - 2^n .ln(2)

Vn = e^(- 2^n .ln(2))
V(n) = 2^(-(2^n))

V(n) = (U(n) - 1)/U(n)
2^(-(2^n)) = (U(n) - 1)/U(n)
U(n).(2^(-(2^n)) - 1) = -1
U(n) = 1/(1 - 2^(-(2^n)))
-----
e)

lim(n->oo) [U(n)] = 1/(1-(1/oo)) = 1
-----
Sauf distraction.    

Posté par Johan (invité)Toujours les suites 11-03-04 à 17:31

Fiou, merci, toi t'es fort J-P.
Big Respect



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