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toute petite blocage sur suite

Posté par toba (invité) 06-10-06 à 23:20

** Donnée:  
Un+1 = (2Un+1)/(Un+1)    Uo=1
Vn+1 = (2Vn+1)/(Vn+1)    Vo=2

Avec les question precedentes j'ai pu montrer que :
1<= Vn <= 2  , V(n+1) <= Vn
1<= Un <= 2 , U(n+1) >= Un
Vn+1 - Un+1 = (Vn-Un) / (Vn+1)(Un+1)  et Vn >= Un

** Voila , et la je bloque : En deduire que pour tout entier Naturel n , Vn+1 - Un+1 <= 1/4 ( Vn-Un)

Merci d'avance !

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:26

les Vn+1 et Un+1 = V(n+1) et U(n+1) c'etait simplement pour ecrire plus rapidement .

Merci d'avance .

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:31

Bonsoir,

Tu as montré que V_n \ge 1 et U_n \ge 1.

Que peut-on dire alors de U_n+1 et V_n+1 ?

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:33

que Un+1 1 et Vn+1 1

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:36

ah bon ?

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:39

en fait j'ai prouvais que 1<=Un<=2 par reccurence, donc 1<=Un+1<=2  et pareil pour Vn , 1<=Vn+1<=2 ,
sauf je n'ai pas reussi a prouver que V(n+1) <= Vn ..en faisant la difference je tombe sur (-Un² + Un + 1 )/(Un+1) et donc la je sais pas quoi faire ..

merci de preter attention a mon probleme Rouliane

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:40

Je ne comprends pas tu dis :

Citation :
Avec les question precedentes j'ai pu montrer que :
1<= Vn <= 2  , V(n+1) <= Vn
1<= Un <= 2 , U(n+1) >= Un
Vn+1 - Un+1 = (Vn-Un) / (Vn+1)(Un+1)  et Vn >= Un


t'as réussi à montrer tout ça ou pas ?

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:40

Il faut remplacer les Un².. par Vn² ..

En fait j'ai pas reussi a prouver que  U(n+1) >= Un et V(n+1) <= Vn

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:43

J'ai reussi a prouver que 1<=Vn<=2 par reccurence , pareil pour 1<=Un<=2 , et ça Vn+1 - Un+1 = (Vn-Un) / (Vn+1)(Un+1)  .

Apres Vn>= Un , ce trouve grace a V(n+1) <= Vn  et  U(n+1) >= Un
Voila, donc il me faut prouver que U(n+1) >= Un et  V(n+1) <= Vn  .

Puis , apres ma question : Vn+1 - Un+1 <= 1/4 ( Vn-Un)  .
Mais je ne sais pas comment prouver ,car j'ai chercher et pas trouvé ..

Merci

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:46

Pourquoi tu veux montrer que U(n+1) >= Un et  V(n+1) <= Vn  ?

sinon, essaye d'écrire avec des parenthèses si c'est U_{n+1} , ça peut preter à confusion ...

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 06-10-06 à 23:54

oki merci , car c'est demander dans une question precedente .

1. montrer , a l'aide de la recurrence que pour tout n appartenant a |N, 1<=Vn<=2 et V(n+1)<=Vn
  Dans la suite on admet que pour tout entier naturel n, 1<= Un <=2 et Un<= U(n+1) .

Donc , j'ai demontrer que 1<=Vn<=2 et donc il me reste a demontrer que V(n+1)<= Vn , et donc cela signifie de faire la difference , et davoir un resultat negatif .. ma difference tombe sur (-Un² + Un + 1 )/(Un+1) et le je sais pas quoi faire .( etudier le signe du trinone sur [0;2] ? )

2. Montrer que V(n+1) - U(n+1) = ( Vn - Un ) / [(Vn+1)(Un+1)]
J'ai demontrer .

3. En deduire que Vn>=Un et V(n+1) - U(n+1) <= 1/4 (Vn-Un)
Et donc voila . je suis la , plus un morceau de la 1.

SVP aidez moi , j'ai controle demain .

MILLE MERCI !
  

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:04

Pour montrer que V(n+1)<=Vn, tu procèdes par récurrence.

Pour montrer l'hérédité, il faudra que tu montres que V(n+2)<=V(n+1)
Pour celà montres que V(n+2)-V(n+1)<= 0 ( tu réduis tout au même dénominateur et tu utiliseras ensuite l'hypothèse de récurrence )

Pour le 3. , utilise le 2., et minore [(Vn+1)(Un+1)]

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:12

Je le fais tout de suite ! et j'ecrirais mes resultats !
merci beaucoup

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:14

ok

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:24

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                je trouve ( - V(n+1)² + V(n+1) + 1) / ( V(n+1) + 1)
Et , le je ne vois pas comment employé l'hypothese , car du fait que V(n+1)² serait < Vn , donc ce quotion serait possitif et donc ce n'ai pas ce que je recherche .

Where is my error ?

Merci beaucoup Rouliane !

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:40

Je te fais la récurrence vite fait :

Soit P_n :" V_{n+1} \le V_n "

.P0 est vraie

- On suppose que P_n est vraie pour un entier naturel n c'est a dire on suppose que V_{n+1} \le V_n.

Montrons que P_{n+1} est vraie, cad montrons que V_{n+2} \le V_{n+1}

On va montrer que V_{n+2} - V_{n+1} \le 0:
3$V_{n+2} - V_{n+1} = \frac{2V_{n+1}+1}{V_{n+1}+1} - \frac{2V_{n}+1}{V_{n}+1}

= 3$\frac{(2V_{n+1}+1)(V_{n}+1)-(V_{n+1}+1)(2V_{n}+1)}{ (V_{n+1}+1)(V_{n}+1)}

On développe au numérateur et on trouve :

3$V_{n+2} - V_{n+1} = \frac{2 V_{n+1}V_{n}+2V_{n+1}+V_{n}+1-2V_{n+1}V_{n}-V_{n+1}-2V_{n}-1}{(V_{n+1}+1)(V_{n}+1)} c'est à dire :

3$\fbox{V_{n+2} - V_{n+1} = \frac{V_{n+1}-V_n}{(V_{n+1}+1)(V_{n}+1)}}

Le dénominateur est clairement positif, et le numérateur est négatif d'aprèsl'hypothèse de récurrence CQFD .

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:47

oki c'est plus claire , j'ai du faire des erreurs avec U(n+1) et Un + 1 ! Merci beaucoup !

Pour le 3 , il faut minoré : [(Vn+1)(Un+1)]  , par 1 ? car 1<=Vn+1<=2 et 1<=Un+1<=2 ( d'apres la reccurence) .donc 1 <= [(Vn+1)(Un+1)] voila , mais apres avoir faire cela , comme doit l'interpreter a l'ecrit ?

Car je vois en gros ce que c'est  :  <= (Vn - Un) / (1+1)(1+1)   = 1/4(Vn-Un) mais voila c'est pas assez expliqué et je ne sais pas comment l'expliquer , j'ai fais cela par simple observation .

Encore merci a toi !

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:53

Citation :
oki c'est plus claire , j'ai du faire des erreurs avec U(n+1) et Un + 1


Tu vois, je te disais depuis le début, il faut faire très attention à ça

Citation :
Pour le 3 , il faut minoré : [(Vn+1)(Un+1)]  , par 1 ? car 1<=Vn+1<=2 et 1<=Un+1<=2 ( d'apres la reccurence) .donc 1 <= [(Vn+1)(Un+1)] voila , mais apres avoir faire cela , comme doit l'interpreter a l'ecrit ?


attention ici, c'est (V_n+1)(U_n+1) et pas V_{n+1}U_{n+1}

Je tele fais rapidement par ce que je suis crevé :

Il suffit de minorer (V_n+1)(U_n+1) par 4.

On a U_n \ge 1 et V_n \ge 1 , donc U_n+1 \ge 2 \\ et V_n+1 \ge 2

Donc (V_n+1)(U_n+1) \ge 4

d'où le résultat

Posté par toba (invité)re : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 00:55

a okkkkk merci beaucoup ! bonne nuit , moi je vais encore revoir mon cahier !
a+

Posté par
Roulianere : toute petite blocage sur suite 07-10-06 à 01:00

Bonne nuit et bon courage


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