Bonjour à tous,

J'ai un problème avec un sujet, que j'arrive à résoudre en bidouillant un peu, mais j'aimerais savoir s'il existe un moyen plus simple (et plus sympa aussi) pour y parviendre.

Voici le sujet :
Soit A M_n()
Notons A' la transposée de A
Montrer que tr (A²) tr (A' * A)

Ma piste est pour le moment la suivante :
J'ai noté (a_ij)_1i,jn les indices de la matrice A.
On a donc (a_ji)_1i,jn ceux de la matrice A'.


Je note (e_ij)_1i,jn les coefficients de la matrice A² :
e_ij = _1kn a_ik*a_kj

On a donc les coefficients de la diagonale :
e_ii = _1kn a_ik*a_ki


De l'autre côté, les coefficients  de A'*A sont les (f_ij)_1i,jn tels que les coefficients de la diagonale sont :
f_ii = _1kn (a_ki)²

(si je ne fais pas d'erreur)

On a alors :

tr (A²) = _1in1kn a_ik*a_ki

tr (A' * A) =  _1in1kn (a_ki)²

Je remarque qu'on peut regrouper les termes deux par deux :
dans la première somme : 2 * a_ik*a_ki
dans la deuxième somme : (a_ki)² + (a_ik)² avec i < k
Dans chaque somme il reste la somme des (a_ii)²

En soustrayant :
tr (A' * A) - tr (A²)
j'obtiens pour 1i<kn :
(a_ki)² + (a_ik)² - 2 * a_ik*a_ki
C'est une identité remarquable : on obtient un carré et donc ce terme est 0

J'en conclus alors l'inégalité.


C'est donc la méthode que j'ai trouvée.
Simplement, c'est un exercice en lien avec le chapitre sur le produit scalaire et je ne l'ai absolument pas utilisé, j'aimerais donc savoir s'il était possible de résoudre plus rapidement ce problème à l'aide de ces produits scalaires ?
Merci d'avance !