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tr (A²) <= tr (transposé de A * A)

Posté par
Sidemony
14-06-19 à 23:10

Bonjour à tous,

J'ai un problème avec un sujet, que j'arrive à résoudre en bidouillant un peu, mais j'aimerais savoir s'il existe un moyen plus simple (et plus sympa aussi) pour y parviendre.

Voici le sujet :
Soit A Mn()
Notons A' la transposée de A
Montrer que tr (A²) tr (A' * A)


Ma piste est pour le moment la suivante :
J'ai noté (aij)1i,jn les indices de la matrice A.
On a donc (aji)1i,jn ceux de la matrice A'.


Je note (eij)1i,jn les coefficients de la matrice A² :
eij = 1kn aik*akj

On a donc les coefficients de la diagonale :
eii = 1kn aik*aki


De l'autre côté, les coefficients  de A'*A sont les (fij)1i,jn tels que les coefficients de la diagonale sont :
fii = 1kn (aki

(si je ne fais pas d'erreur)

On a alors :

tr (A²) = 1in1kn aik*aki

tr (A' * A) =  1in1kn (aki

Je remarque qu'on peut regrouper les termes deux par deux :
dans la première somme : 2 * aik*aki
dans la deuxième somme : (aki)² + (aik)² avec i < k
Dans chaque somme il reste la somme des (aii

En soustrayant :
tr (A' * A) - tr (A²)
j'obtiens pour 1i<kn :
(aki)² + (aik)² - 2 * aik*aki
C'est une identité remarquable : on obtient un carré et donc ce terme est 0

J'en conclus alors l'inégalité.


C'est donc la méthode que j'ai trouvée.
Simplement, c'est un exercice en lien avec le chapitre sur le produit scalaire et je ne l'ai absolument pas utilisé, j'aimerais donc savoir s'il était possible de résoudre plus rapidement ce problème à l'aide de ces produits scalaires ?
Merci d'avance !

Posté par
jsvdb
re : tr (A²) <= tr (transposé de A * A) 14-06-19 à 23:30

Bonjour Sidemony.

Utilise le produit scalaire \langle A,B\rangle = \text{tr}(A'B) sur \mathcal M_n(\R)

Posté par
Sidemony
re : tr (A²) <= tr (transposé de A * A) 14-06-19 à 23:39

En fait, j'avais compris qu'il faut utiliser ce produit scalaire, mais je n'arrive pas à visualiser quels A et B prendre pour retrouver l'inégalité :/

Posté par
jsvdb
re : tr (A²) <= tr (transposé de A * A) 14-06-19 à 23:45

On a \text{tr}(A^2) = \langle A',A\rangle et tu utilises Cauchy-Schwarz

Posté par
Sidemony
re : tr (A²) <= tr (transposé de A * A) 14-06-19 à 23:53

Merci beaucoup ça me parait évident maintenant que vous le dites !
Et effectivement, c'est plus rapide que ma méthode ^^
Bonne soirée à vous !

Posté par
etniopal
re : tr (A²) <= tr (transposé de A * A) 14-06-19 à 23:58

A*A(j,j) = kA*(j,k)A(k,j) = k (A(j,k))²

tr(A*A)= j,k (A(j,k))²

A²(j,j) = kA(j,k)A(k,j)

2tr(A²) =  j,k  2A(j,k)A(k,j)

  j,k ((A(j,k))² + (A(k,j))²   = 2  p,q (A(p,q))²  = 2tr(A*A)

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