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Tracé de fonction dans un plan spécial

Posté par
nakahira 20-11-21 à 01:22

Bonjour,
j'ai un peu de mal à représenter certaines fonctions. Il s'agit d'une représentation que je dois faire dans un exercice de physique mais c'est de méthode géométrique dont je crois manquer.

J'ai deux fonctions \alpha_r(r)=-\alpha_0\dfrac{a^2}{r^2} et \alpha_\theta(r)=\alpha_0\dfrac{a^2}{r^2} .
Physiquement \alpha est un angle, r une valeur de rayon et a une valeur particulière de rayon.

Je dois représenter dans le plan (\alpha_r(r),\alpha_\theta(r)):
- la fonction constante et égale à \alpha_0 pour r=a
- la fonction h : r \mapsto \sqrt{3}\alpha_0\dfrac{a^2}{r^2} en r=a


Pour la première, je suis parti en écrivant que pour r=a \alpha_0=-\alpha_r=\alpha_\theta. Donc cela revient, selon moi à tracer du "y=-x".

Pour la seconde,  j'ai écrit \sqrt{\sigma_r^2+\sigma_\theta^2}=\sqrt{2}\alpha_0\dfrac{a^2}{r^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}h(r) et je crois reconnaitre l'équation d'un cercle de centre (0,0) et rayon \sqrt{\frac{3}{2}}h(a)=\frac{3}{\sqrt{2}}\alpha_0 lorsque r=a.
Donc pour moi sa représentation dans le plan  (\alpha_r(r),\alpha_\theta(r)) est un cercle de centre (0,0) et de rayon \frac{3}{\sqrt{2}}\alpha_0.

J'ai donc plusieurs questions.
1) Ai-je juste ?
2) Y-a-t-il une méthode qui permettent de déterminer à coup, ou de donner des indices sur la représentations graphiques dans ce genre de plan ?

Merci à vous et bonne soirée

Posté par
luzakre : Tracé de fonction dans un plan spécial 20-11-21 à 09:31

Il s'agit d'une représentation polaire paramétrée :
J'écrirais plutôt :  \rho(t)=-\alpha_0\dfrac{a^2}{t^2};\quad\theta(t)=\alpha_0\dfrac{a^2}{t^2} et tu dois représenter l'ensemble des points de coordonnées polaires \rho(t);\theta(t) .
Tu peux revenir en coordonnées cartésiennes en prenant :
x(t)=\rho(t)\cos(\theta(t));\;y(t)=\rho(t)\sin(\theta(t))
ou remarquer que l'affixe z(t) des points à dessiner est z(t)=\rho(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)}

Posté par
nakahirare : Tracé de fonction dans un plan spécial 20-11-21 à 10:50

Bonjour,
merci de ta réponse Luzak.
J'ai un peu de mal à comprendre,
si j'écrit h(t)=-\sqrt{3}\rho(t)=\sqrt{3}\rho(t)e^{i\pi}, est ce que cela veut donc dire que \theta(t)=\pi tout le temps ?
Et donc que la représentation de h serait sur l'axe des abscisses ?

Merci et bonne journée!

Posté par
luzakre : Tracé de fonction dans un plan spécial 21-11-21 à 09:36

Pour le h que tu inventes, oui mais cela n'a rien à voir avec ta courbe.

En prenant \alpha_0 a^2=1 pour simplifier (l'écriture) tu dois t'occuper des points d'affixe z(t)=\dfrac{-1}{t^2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}/t^2}
Tu peux alors remarquer que sur un intervalle I_n à préciser, \theta croît de 2n\pi à 2n\pi+2\pi en même temps (j'ai réussi à le placer !!!) que \rho croît de 2n\pi à 2(n+1)\pi.
Ta courbe est une sorte de spirale s'enroulant autour de l'origine et tu obtiens une spire de la courbe en restant sur l'intervalle I_n.

Tu peux obtenir un tracé soigné en plaçant les points où la spire coupe les axes ainsi que les tangentes en ces points.
La spire passe en les points d'affixe z=2n\pi,\;z=i(2n\pi+\dfrac{\pi}2),\;z=-(2n\pi+\pi),\;z=-i(2n\pi+\dfrac{3\pi}2),\;z=2(n+1)\pi et, au point M(t) la tangente fait avec OM un angle V=\arctan\dfrac{-1}{t^2}.

J'espère qu'il n'y a pas d'erreur et que tu sais justifier mes calculs.

Une dernière spire, obtenue pour t\geq\dfrac1{\sqrt{2\pi}} joint le point z=2\pi de l'axe réel à l'origine, la tangente à l'origine (obtenue pour t=+\infty) étant l'axe réel

.................................
Pour les calculs de tangentes tu peux écrire :

z'(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}/t^2}\Bigl(\dfrac2{t^3}+\dfrac{2\mathrm{i}}{t^5}\Bigr)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}/t^2}\dfrac2{t^5}(t^2+\mathrm{i})\Bigr) ce qui explique mon \arctan\dfrac{-1}{t^2}


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