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Trajectoire
Bonjour, je ne parviens pas à résoudre une question dans un de mes devoirs, si quelqu'un pouvait m'aiguiller un peu.
Dans un plan orienté rapporté au repère direct (O,
,) ( unité graphique 1 cm), on considere deux cercles de centre O et de rayons respectif 2 et 6.On desire par A et B les points ou la demi-droite des abscisses positives porté par l'axe (O,
) coupe ces cercles.
Un premiere mobile, P , parti de B à l'instant t=0 , decrit le grand cercle avec une vitesse angulaire constante de +1 radian par seconde ; un secont mobile , Q , parti de A à l'instant t=0 décrit le petit cercle avec une vitesse angulaire de +3 radians par seconde.
On voudrait construire la trajectoire du point M lorsque les mobiles P et Q décrivent leurs cercles respectifs.
1) Montrer que la trajectoire peut être construite complètement à partir de l'arc
0 obtenue pour t
[0,
]en exprimant la position de M à l'instant
et à l'instant
en fonction de sa position à l'instant t.
Coordonnées du point M: M(cos 3t + 3 cos t; sin 3t + 3 sin t).
Est ce que je dois exprimer le vecteur en remplaçant t par
?
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
On voudrait construire la trajectoire
du point M lorsque les mobiles P et Q décrivent leurs cercles respectifs.Malheureusement, on ne sait pas ce qu' est ce point
Oui:
et
Donc symétrie par rapport à l' axe des ordonnées.
et
Donc symétrie par rapport à l' axe des abscisses.
Du coup, l' intervalle d' étude correspondant à la période peut être réduit à
f : t 
(cos(3t) + 3 cos(t) , sin(3t) + 3sin(t)) est 2
périodique donc la "trajectoire" C (qui n'est autre que f(
)) est f([a , a + 2]) pour tout a 
.
..f(-t) se déduit de f(t) par la symétrie orthogonale s par rapport l'axe des abscisses donc on prend a = - et si C1 =[0 , ] on a C = C1 
s(C1) .
..f(-t) se déduit de f(t) par la symétrie orthogonale t par rapport l'axe des ordonnées donc si C2 = f([0 , /2]) on a : C1 = C2 t(C2)
De là C = C2 t(C2) s( C2 t(C2))
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