bonjour serge

en prenant la bissectrice de BPC comme axe de symétie, tu dois pouvoir positionner C sur PB et A sur DP

Après je verrai bien du Thales pour pouvoir démontrer que CA est // à BD

mais je n'en suis pas sûr...

Philoux

C'est ce à quoi je pensais aussi mais il faudrait la longueur PD pour démontrer que (C'A')//(BD) par la réciproque de Thalès

Ton énoncé est incomplet.

Avec les contraintes imposées par l'énoncé, il y a une infinité de solutions pour la longueur AC.

Pour t'en persuader, fais le dessin suivant.

- Tu traces la droite BPA en repérant ces 3 points, tels que PB = 36 mm et PA=12 mm

- Tu traces un cercle de centre B et de rayon = 20 mm

Tu as maintenent le choix de choisir D n'imorte où sur ce cercle (donc une infinité de possibilités).

A partir de n'importe lequel de ces points D possibles, tu traces la droite (DP) et tu places le point C sur cette droite avec PC = 18 mm.

A chacune de ces possibilités correspondra une longueur AC qui varie évidemment d'un cas à l'autre.
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Sauf distraction.  

oui, c'est vrai (bonjour stokastik)

et en ajoutant quelques pincées d'Al-kashi pour s'assurer de l'égalité d'angles ?

A creuser, peut-être...

Philoux

tu peux par contre dire que :

18-12 < AC < 18+12 (l'égalité donnant des triangles aplatis)

Philoux

Re

on peut être plus précis en encadrant AC

la valeur min de AC serait 18-12

Celle max serait obtenue quand PD tangente le cercle B;20 => angleBP-PD=t=arcsin(20/36)

Al-Kashi donne dans APC :

CA²=PC²+AP²-2PC.APcost = 18²-12²-3.12²cost

comme t / sint=20/36 => cost=racine(1-20²/36²)=(V56)/9

CAmax=V( 180-48V56 )

A vérifier...

Philoux

La valeur max de l'angle BPD est lorsque l'angle BPD = 90°, soit pour:
DP² = 36² - 20² = 896
-->
BD = BP.sin(BPD)  
20 = 36.sin(BPD)
sin(BPD) = 5/9 (pour angle BPD max)

--> cos(BPD) = V(1 - 25/81) = (V56)/9 = (2/9).V14 (pour angle BPD max)

AC² = PC²+AP²-2.PC.AP.cos(BPD)

AC² = 18²+12²-2*18*12.(2/9)V14

AC² = 468 - 96V14

AC = V(468 - 96V14) = 10,4307665... (pour angle BPD max)

On a 6 <= AC <= V(468 - 96V14)

Le problème, tel que posé, a bien une infinité de solutions, toutes comprises dans l'intervalle doinné ci dessus.

De là à penser que l'énoncé n'est pas correct ...

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Bonjour,
C'est très aimable à vous d'avoir répondu.
En effet, je suis confus PD=24.
Désolé, l'énoncé était imcomplet. En tout cas, avec vos explications je vais pouvoir étudier et réaliser le PB.
Merci beaucoup, Bonne journée à tous

Par le calcul:

Al Kashi dans le triangle BDP.

BD² = DP²+BP²-2.DP.BP.cos(BPD)

20² = 24² +36²-2*24*36.cos(BPD)

cos(BPD) = 1472/1728 = 23/27
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Al Kashi dans le triangle PAC.

AC² = PC² + AP² - 2.PC.AP.cos(BPD)
AC² = 18² + 12² - 2*18*12*(23/27)

AC² = 18² + 12² - 2*18*12*(23/27)
AC² = 100
AC = 10
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Il reste à le faire par la méthode demandée ...

Bonsoir à tous,

Lors de ma remise à niveau j'ai le même exercice à faire !!
J'ai remarqué un truc, peut-être pas forcément explicatif, mais bon :

CP = 3/4.DP
CP = 3/4.24
CP = 18

PA = 1/3.BP
PA = 1/3.36
PA = 12

BD = 1/3.[BP+DP]
BD = 1/3.[36+24]
BD = 20

Donc, j'en conclus :

AC = 1/3.[PC+PA]
AC = 1/3.[18+12]
AC = 10

Ce qui est vrai, lors du contrôle sur la feuille.

Est-ce une solution parmis d'autres, ou une idiotie de ma part ?? ( merci de votre indulgence ! )

Re,

En fait, si l'on dessine les deux triangles CPA & B'PD', on constate que la triangle PAC est une diminution du triangle B'PD'.
Donc celon la réciproque de Thalès :

PC/CB' = PA/AD'
Alors CA // B'D'
CA = 1/2. B'D'