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Transformation-Complexe

Posté par
Laurierie 27-09-05 à 07:37

Bonjour tout le monde,
Je bloque sur une question d'un exercice et j'aimerai savoir où mon raisonnement ne colle pas.

Soit a un réel stricement positif et P un plan affine euclidien de repère orthonormal (0,e1,e2). Soient A et A' les deux points d'affixes respectives a et -a dans le repere.
Soit T l'application qui au point M de P distinct de A associe le projeté orthogonal de A' sur la droite perpendiculaire en M à la droite (AM) et qui à A associe A.

1.Soit les vecteurs u et v d'affixe respectives z et z'. A quelle condition sur z et z' les vecteur u et v sont ortogonaux?Colinéaires?
Orthogonaux si Re(z.z'(barre))=0 (ensuite on dévelope sachant que z.z'(barre)+z(barre).z'=0
Colinéaires si Im(z'.z(barre))=0

2.Soit M un point de P distinct de A d'affixe z. Montrer que T(M) a pour affixe
z'=z(barre)[ (z-a)/(zbarre-a) ]

Mon idée etait de dire que AM.M'M= 0 (avec les fleches) car orthogonaux
Re( (z-a).(zbarre-z'barre) ) =0

Et que det(A'M'.AM)=0 car A'M' parrallele a AM
Im( (z'barre+a)(z-a) )=0   (car -a=a)

Et donc comme ces deux égalités sont égales,passez le z' d'un coté et de l'exprimer en fonction de z,zbarre et a.
Je n'arrive pas à conclure ainsi. Ai-je mal compris la transformation?

Pouvez vous m'aider s'il vous Plait? Merci Beaucoup pour votre aide

Posté par
piepalmre : Transformation-Complexe 27-09-05 à 09:58

Si je lis bien l'énoncé, AM est parallèle à A'M' et A'M' perpendiculaire à AM' donc
Im((z'+a)(zbarre-abarre)=0 et Re((z'+a)(z'barre-a barre)=0

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 27-09-05 à 15:19

Piepalm,c'est bien ce que j'ai dis non? sauf que tu as changé de place les conjugués.
De plus, a est strictement positif donc abarre=a.

Pouvez vous m'aidez s'il vous plait? Merci

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 27-09-05 à 15:21

J'oubliais, tu n'a pas pris les meme vecteurs orthogonaux, mais en essayant avec cette méthode j'arrive presque à la conclusion à part qu'il me reste des z'z'barre...

Merci

Posté par
piepalmre : Transformation-Complexe 27-09-05 à 16:38

Es-tu sur de ton énoncé, parce que je t'avais donné une piste sans vraiment faire le calcul, mais en reprenant le problème j'arrive à des contradictions...
En effet, géométriquement ou en exploitant Re((z'+a)(z'barre-a)=0, on arrive à la conclusion que le module de z' est a (le lieu de M' est le cercle de centre O de rayon a) quel que soit M donc z.
Or dans l'expression à démontrer (z-a)/(zbarre-a) a pour module 1, donc le module de z' serait égal au module de z barre, qui est lui même égal au module de z...

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 27-09-05 à 18:46

Non j'ai bel et bien vérifié mon énoncé il est correct... Moi j'arrive à deux résultats,(selon les deux vecteurs orthogonaux qu'ont choisi) :

zz'-z(z'barre)-a(zbarre)+a(z'barre)-az+az'=0
ou encore,
z'(zbarre)-(z'barre)z'+a(zbarre)-az'=0
Soit |z'|²+z'(zbarre-a)= -a(zbarre)

J'ai l'impression qu'on est pas loin mais ce |z'|² me gêne énormément.

Je te remercie en tout cas pour m'avoir accordé tout ce temps

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 27-09-05 à 18:50

Petite remarque aussi, l'énoncé semble bien correct puisque dans la question d'apres on nous demande d'étudier les points invariants par M. On trouve l'axe des abscises et si on fait un petit dessin on s'apercoit bel et bien que les points de la droite réelle sont invariants..

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 27-09-05 à 21:28

Personne ne peut m'aider?? Merci  

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformation-Complexe 27-09-05 à 23:55

Bonsoir Laurierie et piepalm;
L'énoncé est correct c'est plutot l'ordre des deux questions qui,à mon avis,est à revoir.
Bref,faisons d'abord la question 2).
on voit que:
3$\fbox{\forall M\in (P)-\{A\}\\T(M)=M'\Longleftrightarrow et\{{(AM)//(A'M')\\(AM)\perp(MM')} ce qui s'écrit si z et z' sont les affixes respectifs de M et M':
3$\fbox{\forall z\in\mathbb{C}-\{a\}\\et\{{\frac{z'+a}{z-a}\in\mathbb{R}\\ \frac{z'-z}{z-a}\in i\mathbb{R}} soient alors \alpha et \beta réels tels que:
3$\fbox{et\{{\frac{z'+a}{z-a}=\alpha\\ \frac{z'-z}{z-a}=i\beta} par différence on a que:
3$\fbox{\frac{z+a}{z-a}=\alpha-i\beta} et donc que 3$\fbox{\alpha=Re(\frac{z+a}{z-a})=\frac{1}{2}(\frac{z+a}{z-a}+\frac{\bar{z}+a}{\bar{z}-a})=\frac{z\bar{z}-a^2}{(z-a)(\bar{z}-a)}} et en remplaçant \alpha par sa valeur on a que:
5$\blue\fbox{\forall z\in\mathbb{C}-\{a\}\\z'=\frac{z\bar{z}-a^2}{\bar{z}-a}-a=\bar{z}\frac{z-a}{\bar{z}-a}} CQFD
1): On voit que,4$\fbox{\forall z\in\mathbb{C}\\|z'|=|z|} donc:
3$\fbox{\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}colineaires\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}z'=\pm z\\\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}orthogonaux\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}z'=\pm iz} c'est à dire que:
(*)3$\fbox{\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}colineaires\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{z(\bar{z}-a)=\bar{z}(z-a)\\-z(\bar{z}-a)=\bar{z}(z-a)}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{z=\bar{z}\\|z|^2-a(z+\bar{z})=0}
ce qui s'écrit avec \fbox{z=x+iy}
4$\blue\fbox{\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}colineaires\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{y=0\\x^2+y^2-2ax=0}.
C'est la réunion de la droite réelle et du cercle C((\frac{a}{2},0),\frac{a}{2}).

(*)3$\fbox{\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}orthogonaux\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{iz(\bar{z}-a)=\bar{z}(z-a)\\-iz(\bar{z}-a)=\bar{z}(z-a)}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{(1-i)|z|^2=a\bar{z}-aiz\\(1+i)|z|^2=a\bar{z}+aiz} ie
4$\blue\fbox{\vec{u}\hspace{5}et\hspace{5}\vec{v}\hspace{5}orthogonaux\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}ou\{{x^2+y^2-ax-ay=0\\x^2+y^2-ax+ay=0}
C'est la réunion des deux cecles C((\frac{a}{2},\frac{a}{2}),\frac{a\sqrt2}{2}) et C((\frac{a}{2},-\frac{a}{2}),\frac{a\sqrt2}{2}).

Sauf erreurs bien entendu



Transformation-Complexe

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 28-09-05 à 07:31

Encore un grand merci a toi Elhor pour ta réponse détaillée que je vais examiner tranquillement ce soir. Encore merci je trouve cela vraiment sympa de ta part,et merci a Piepalm pour ces indications

Posté par
piepalmre : Transformation-Complexe 28-09-05 à 08:17

d'abord toutes mes excuses; j'avais pourtant commencé par dire "Si je lis bien l'énoncé", mais je l'avais mal lu: en fait AM est parallèle à A'M' et MM' perpendiculaire à AM donc
Im((z'+a)(zbarre-a))=0 et Re((z'-z)(zbarre-a))=0 (c'est ceux là qu'il faut prendre pour ne pas avoir de z'z'barre)
donc (z'+a)(zbarre-a)=Re((z'+a)(zbarre-a))+Im((z'+a)(zbarre-a))=Re((z'+a)(zbarre-a))
=Re((z'-z)(zbarre-a))+Re((z-a)(zbarre-a))+Re(2a(zbarre-a))=(z-a)(zbarre-a) +2aRe(zbarre-a)
=z(zbarre-a)-a((zbarre-a)-2Re(zbarre-a))=z(zbarre-a)+a(z-a), car (z-a)+(zbarre-a)=2Re(zbarre-a)
Donc z'+a=z+a(z-a)/(zbarre-a), z'=z-a+a(z-a)/(zbarre-a)=zbarre(z-a)/(zbarre-a) Ouf!

Posté par
Laurieriere : Transformation-Complexe 28-09-05 à 18:29

C'est gentil d'avoir apporté ta contribution,je vais regarder ton calcul en détail afin de trouver mon erreur. Un grand merci à toi piepal et a Elhor pour votre aide.

a++


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