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Transformations

Posté par
aya4545
25-12-21 à 22:24

bonjour
vu qu ona vu precedament que l etude geometrique des transformations  (homthétie; translation......) je me trouve bloquée devant cet exercice
Quelle est la transformation géométrique qui transforme la courbe
représentative de la fonction $x\mapsto e^x$ en~$\mathcal{C}$
avec $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=e^{x-1}-1$ et $\mathcal{C}$  sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j)
je vois qu il s agit d une translation d une unitée suivant l 'axe des abscisses suivie d une translation  d une unitée suivant l axe des ordonnées mais je ne sais pas formuler ma démonstration etant donée qu on n a pas vu ces transformations analytiquement et merci

Posté par
aya4545
re : Transformations 25-12-21 à 22:40

salut
soit M(x,e^x) un point de la courbe représentative de
$x\mapsto e^x$ ~$
M'(x,e^{x-1}-1) un point de  $\mathcal{C}$

Posté par
LeHibou
re : Transformations 25-12-21 à 23:38

Bonjour,

Ton énoncé n'est pas clair, tu utilises la même lettre C pour désigner la courbe et sa transformée.
Pour t'aider, j'ai tracé les deux courbes, la première en noir et la transformée en rouge.
Tu vois que tout point de la courbe rouge peut être déduit d'un point unique de la courbe noire par une translation de vecteur V(1,-1).
Par exemple, le point (0,1) devient après translation le point (1,0).
A toi de justifier ceci rigoureusement.

Transformations

Posté par
aya4545
re : Transformations 26-12-21 à 10:37

bonjour
merci LeHibou  
si je represente par   $\mathcal{C1}$  la courbe representative  de l a fonction   $x\mapsto e^x$ ~$$
et par $\mathcal{C}$ la courbe representative de $f(x)=e^{x-1}-1$ j ai remarqué en utilisant geogebra que
 $\mathcal{C}$ est l image de  $\mathcal{C1}$ par la translation de vecteur u(1, -1)
ce qui me peine comment le prouver analytiquement

Posté par
aya4545
re : Transformations 26-12-21 à 12:16

Salut
$f(x)=e^{x-1}-1$           et    $g(x)=e^{x}$
ona f(x)=g(x-1)-1  Donc   C   est l image de C1 Par la translation du vecteur  u(1, -1) (cours de seconde)

Posté par
lake
re : Transformations 26-12-21 à 12:38

Bonjour,

Je me permets de reprendre ce que tu as écrit :

L'écriture de la translation de vecteur \vec{i}-\vec{j} :

\begin{cases}X=x+1\\Y=y-1  \end{cases}

Soit m(x,y=e^x) un point de \mathcal{C}_1

Son transformé M par cette translation a pour coordonnées  X=x+1 et Y=y-1=e^x-1

on en déduit Y=e^{X-1}-1 ce qui prouve  que M(X,Y)\in\mathcal{C}.

Posté par
aya4545
re : Transformations 26-12-21 à 14:22

salut
merci lake c est juste le raisonnement que je cherchais

Posté par
aya4545
re : Transformations 26-12-21 à 14:43

salut
juste une remarque ona montré que  par la translation u(1,-1) l image deC 1 est incluse dans  C    par un raisonnement analogue a celui proposé par lake on demontre l inclusion dans l autre sens

Posté par
lake
re : Transformations 26-12-21 à 14:45

On peut voir les choses un petit peu différemment :

   Soit m(x_0,e^{x_0}) un point de \mathcal{C}_1.

et soit M le point de \mathcal{C} d'abscisse x_0+1

   y(M)=e^{x_0+1-1}-1=e^{x_0}-1 en sorte que :

   M(x_0+1,e^{x_0}-1)

et \overrightarrow{mM}=\overrightarrow {OM}-\overrightarrow{Om} a pour coordonnées  (1,-1)

Mais tout ceci revient au même ...

Posté par
lake
re : Transformations 26-12-21 à 14:53

Et tu as raison : en toute logique, la première manière de voir nécessite une double inclusion.
Mais pas la seconde

Posté par
alb12
re : Transformations 26-12-21 à 15:42

salut,
rien de bien different sinon l'usage des equivalences.


 \\ \text{Soit }\mathscr{C}\text{ la courbe d'équation }y=e^x\text{ et }\mathscr{C'}\text{ la courbe d'équation }y=e^{x-1}-1
 \\


 \\ \text{Soit }M(x;y)\text{ et }M'(X=x+1;Y=y-1)\text{ son image par la translation de vecteur }\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}
 \\


 \\ M\in\mathscr{C}\iff y=e^x\iff Y+1=e^{X-1}\iff Y=e^{X-1}-1\iff M'\in\mathscr{C'}
 \\

Posté par
aya4545
re : Transformations 26-12-21 à 16:01

salut
merci lake et alb12

Posté par
alb12
re : Transformations 26-12-21 à 17:36

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