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Transformations du plan
Bonjour,
Je demande votre aide pour cet exercice sur les transformations du plan de bases.
On a :
- 2 points distincts A et B du plan
- f l'application qui à tout point M du plan associe le point M' tel que MM' = 2MA + 2MB (ce sont des vecteurs).
a) Montrer que f admet un unique point invariant.
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
a) Un point invariant est tel que f(M) = M (si c'est bien ce dont on parle)
D'où
0 = 2MA + 2 MB (je parle toujours en vecteurs)
donc MA = -MB
Le point invariant est donc le milieu de [AB] ? Mais je ne sais pas comment justifier.
b) Je ne comprends pas la question 2. Il me semble que f soit une translation mais comment montre-t-on cela ? Et qu'est ce que les éléments caractéristiques de f?
Merci de m'aider 
...J'ajoute qu'une transformation ayant un point invariant, penser que ça peut être une translation, c'est pas très raisonnable...
Merci pour la réponse Yzz,
Mais en résonant à l'envers, cela ne prouve pas que I est l'unique point invariant ?
En partant de MA=-MB (vecteurs) , on a MA = MB (en distance) et forcément A, B et M d'où ta conclusion.
Sinon je n'ai toujours pas compris la question b)
Si tu résonne, ça fait du bruit, c'est tout.
Mais si tu raisonnes :
L'égalité sur les vecteurs implique celle sur les distances, pas le contraire...
Le raisonnement que j'ai tenu n'indique qu'un seul point invariant, le milieu de AB.
Pour la question b , il va falloir chercher du côté des homothéties ou des symétries centrales (puisqu'on a qu'un seul invariant).
indice :
pars de MM'=2MA+2MB , et introduits le point I milieu de AB dans ces trois vecteurs...
L'égalité sur les vecteurs implique celle sur les distances, pas le contraire...
Le raisonnement que j'ai tenu n'indique qu'un seul point invariant, le milieu de AB.
MA=-MB en vecteurs indique non seulement que MA=MB (en longueurs) , mais aussi que les points sont alignés, avec M entre A et B.
Donc M milieu de AB ...
MM' = 2MA + 2MB
soit
MI + IM' = 2MI + 2IA + 2MI + 2IB
IM' = 3MI + 2IA + 2IB
IM' = -3IM
Donc c'est une homothétie de centre I et de rapport -3.
Est-ce correct ?
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