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Transitivité d'une action de groupes finis
Bonsoir à tous, 
Je sollicite votre aide sur ce 'ti exo d'initiation aux actions de groupe. Ca doit être très simple mais l'idée de la démo ne me vient pas. (Je devrais peut être aller à elle alors me direz-vous... 
).
Voici ledit exo:
Soit un groupe fini qui agit sur un ensemble
. On dit que cette action est k-fois transitive (
) si pour toute paire
de k-uplets d'éléments distincts de
, il existe un élément
de
tel que
. Une action 1-fois transitive est plus simplement appelée action transitive.
1. Montrer que l'action de sur
est transitive si et seulement si pour tout élément
de
, l'orbite de
est égale à
.
2. Soit . Montrer que l'action de
sur
est k-fois transitive si et seulement si elle est transitive et l'action de Stab(x) sur
est (k−1)-fois transitive.
3. Exemples : montrer que l'action canonique de (le groupe symétrique sur n éléments) sur
est n-fois transitive, et que celle de
est (n−2)-fois transitive.
J'ai fini la 1), la 2) et le début de la 3). En fait, le seul truc auquel je suis pas arrivé c'est l'histoire du .
Une idée?
Merci d'avance.
Ayoub.
Salut Schumi
Pour la 3) : choisi une permutation quelconque les n-2 points sur les n-2 points.
Ensuite distingue les cas selon la signature de cette permutation.
Kaiser
P.S : le titre est trop long (j'ai dû le modifier dans le deuxième message)
Salut Kaiser,
Ok pour l'indication. Mais je comprends pas pourquoi le "n-2"? Je veux dire par là: pourquoi pas "n-1" ou encore "n-3"? Il sort d'où ce "-2"?
P.S: Pour le titre oui, t'as raison: coupe-le, c'est bien trop long.
Justement, c'est en le montrant que tu verras pourquoi.
Par ailleurs, si c'est n-2 transitif, c'est a fortiori n-3 transitif.
Pour le n-1 : imagine que n=4. Si c'était 3-transitif, tu pourrais trouver une permutation paire qui envoie 1, 2 et 3 respectivement sur 2, 1 et 3.
Comme c'est une permutation, c'est une bijection, et donc 4 s'envoie sur 4. Ceci est absurde car une telle permutation est une transposition qui n'est donc pas une permutation paire.
Kaiser
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