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Transmath Ex.100p.139 : Parabole asymptote
f est la fonction définie sur 
-(-1;1) par
f(x)= x^4 / x²-1
et C est sa courbe représentative dans un repère (o;i;j).
1. Etudiez les limites de f en + 
et en -
2. a) Déterminez des nombres réels a, b, c ,d et e tels que pour tout
nombre réel x,
f(x)=ax²+bx+c+(dx+e)/(x²-1)
b) g est la fonction définie sur par g(x)=x²+1
et P la parabole représentative de g dans le repère
(o;i;j)
Démontrez que la fonction (f-g) tend vers 0 en + et en -
.
c)Etudiez les positions relatives de C et de P selon les valeurs
de x.
d) La courbe C admet deux droites asymptotes. Précisez lesquelles.
3. Etudiez les variations des fonctions f et g.
Tracez P, les deux asymptotes puis C ( mais pour ça j'devrais m'en
sortir ^^ )
1)
lim(x-> +/- oo) f(x) = +oo
----
2)
a)
f(x)=ax²+bx+c+(dx+e)/(x²-1)
f(x)=[(ax²+bx+c)(x²-1)+(dx+e)]/(x²-1)
f(x) = (ax^4 + bx³ + cx² - ax² - bx - c + dx+e)/(x²-1)
f(x) = (ax^4 + bx³ + x²(c-a) + (d-b)x - c +e)/(x²-1)
Qu'on identifie avec: f(x) = x^4/(x²-1)
On obtient le système:
a = 1
b = 0
c-a = 0
d-b = 0
e-c = 0
-> a = 1; b = 0; c = 1; d = 0; e = 1
f(x) = x² + 1 + (1/(x²-1))
---
b)
g(x) = x² + 1
f(x) - g(x) = x² + 1 + (1/(x²-1)) - (x² + 1)
f(x) - g(x) = 1/(x²-1)
lim(x-> +/- oo) [f(x) - g(x)] = lim(x-> +/- oo) [1/(x²-1)] = 0
---
c)
f(x) - g(x) = 1/(x²-1)
f(x) - g(x) = 1/[(x-1)(x+1)]
f(x) - g(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ U ]1 ; oo[ -> C est au dessus de
P.
f(x) - g(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 1[ -> C est en dessous de P.
---
d)
f(x) = x² + 1 + (1/(x²-1))
f(x) = x² + 1 + (1/((x-1)(x+1)))
Les droites d'équation x = -1 et x = 1 sont asymptote verticale
à C.
-----
3)
f(x) = x^4 / (x²-1)
f '(x) = (4x³(x²-1)-2x^5)/(x²-1)²
f '(x) = (2x^5 - 4x³)/(x²-1)²
f '(x) = 2x³(x²-2)/(x²-1)²
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -V2[ -> f(x) décroissante. (V
pour racine carrée).
f '(x) = 0 pour x = -V2
f '(x) > 0 pour x dans ]-V2 ; -1[ -> f(x) croissante.
f '(x) n'existe pas pour x = -1
f '(x) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> f(x) décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; V2[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = V2
f '(x) > 0 pour x dans ]V2 ; oo[ -> f(x) croissante.
Il y a un minimum de f(x) pour x = -V2, ce min vaut f(-V2) = 4
Il y a un maximum de f(x) pour x = 0, ce max vaut f(0) = 0
Il y a un minimum de f(x) pour x = V2, ce min vaut f(-V2) = 4
---
g(x) = x² + 1
g '(x) = 2x
g'(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> g(x) est décroissante.
g '(x) = 0 pour x = 0
g '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g(x) est croissante.
Il y a un minimum de g(x) pour x = 0, ce min vaut g(0) = 1
-----
Sauf distraction. 
bonjour !
je ne comprend bien l'étude de fonction de f(x)= x^4 / x²-1
à propos de la dérivée, minimun, maximun ...
merci de bien vouloir m'aider
aurevoir !
bonjour !
je ne comprend bien l'étude de fonction de f(x)= x^4 / x²-1
à propos de la dérivée, minimun, maximun ...
merci de bien vouloir m'aider
aurevoir !
** message déplacé **
j'ai un petit problème avec la derivée car en faite je vois
pas d'où il vient le racine carrée de 2 !!!
merci de m'expliqué SVP !!!
Audrey
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