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Triangle, dérivée, tableau de variation
Bonjour, je dois faire un exo mais j'ai du mal pour certaines questions. Pouvez-vous m'aider svp?
O est un point du plan, C le cercle de centre O et de rayon 1 et A un point du plan tel que OA=2. On place un point M quelconque sur le cercle C et son symétrique M' par rapport à (OA). On s'intéresse alors à l'aide du triangle AMM' et on cherche s'il existe une position du point M telle que l'aire du triangle AMM' soit maximale.
Donc j'ai tracé la figure sur geogebra et maintenant on me demande:
1) Déplacer le point M et observer l'évolution de cette aire. Déterminer une valeur approchée de l'abscisse de M telle que l'aire soit maximale.
ma réponse: j'ai trouvé environ -0,42.
2) On se place dans le repère orthonormé (O;I,J) avec OI= 1/2 OA et on note (x;y) les coordonnées du point M.
a. Dans quel intervalle varie x? ma rép: ]-1;1[
b. Calculer OM en fonction de x et y et en déduire l'expression de y en fonction de x.
ma rép: OM= 
(x²+y²) et y= (1-x²)
c. Pourquoi l'aire du triangle AMM' en fonction de x est (2-x)(1-x²)?
ma rép: ici j'ai compris mais je n'arrive pas à l'expliquer.
3) On considère la fonction f(x)= (2-x)(1-x²).
a. Montrer que f est dérivable sur ]-1;1[ et que f'(x) = (2x²-2x-1)/(1-x²).
ma rép: j'ai réussi à dériver mais je n'arrive pas à prouver que f est dérivable sur ]-1;1[.
b) Etudier le signe de f' sur ]-1;1[ et dresser son tableau de variation.
Je ne sais pas comment faire.
c. Répondre alors précisément au problème posé.
Et là, je ne peux pas répondre car je n'ai pas répondu à la question d'avant.
Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider, merci..
Bonjour,
je trouve plutôt x = -0.37 comme conjecture, mais passons ....
(c'est une question de doigté sur le déplacement des points ? ou de construction Geogebra fausse ?)
2c :
MM' = 2y
la hauteur du triangle AMM' issue de A est 2-x (abscisse de A moins abscisse de M)
et donc l'aire de AMM' = ...
3a) la dérivée d'une fonction continue sur un intervalle est définie si on peut la calculer ...
donc domaine de définition de f'(x) ?
sinon méthode pénible pour redémontrer la dérivée à partir de rien (limite de l'accroissement)
3b) dans son domaine de définition ]-1; 1[, le signe de la dérivée est le signe de son numérateur : un trinome du second degré ==> cours
(vu que l dénominateur est >0 par définition de la racine carrée)
une fois la 3b faite la fin ne pose pas de problème.
Bonsoir !
2c) Si vous découpez votre triangle en deux triangles rectangles égaux (un sur l'axe Ox, l'autre sous l'axe Ox), on peut facilement déterminer l'aire de chacun d'eux.
La hauteur est donnée par et la base est donnée par 2-x. Comme le grand triangle est formé par les 2 petits, on obtient bien la formule mentionnée.
3a) vous avez pu trouver la dérivée et elle existe dans l'intervalle ]-1;1[ donc c'est bon. Vous devez regarder le domaine de validité de la dérivée.
3b) le signe de la fonction dépend à la fois du signe du numérateur et du dénominateur. Puisque le dénominateur est une racine carrée, il est toujours positif (ou nul) dans son domaine d'existence. Reste à étudier le signe du numérateur.
3c) Trouver le maximum et le tour est joué
3) b. Une racine carrée est toujours positive donc (1-x²) > 0.
Avec le trinome, j'ai donc calculé delta: 
= 12.
x1= (1-3)/2 et x2= (1+3)/2.
Donc:
x -
(1-3)/2 (1+3)/2 +
2x²-2x-1 + + -
Je ne sais pas si c'est correct..
delta, x1 et x2 sont OK
mais, outre le fait qu'il est impossible de garantir l'alignement entre lignes de texte successives du forum (donc ton tableau est "un peu illisible")
de toute façon le cours ne dit pas "+, +, -" comme succession des signes d'un trinome !
que dit le cours exactement là dessus ?
Oui, ça me paraît correct!
Cependant, la fonction n'est définie qu'entre -1 et 1, donc le tableau de signe commence à -1 (et pas ) et se termine à 1 (au lieu de
).
Vous trouvez un maximum pour (environ -0,36). L'aire max est donc environ de 2.2, ce qui correspond à la figure d'étude que je viens de faire sur cabri.
Désolé mathafou, mon navigateur ne rafraîchit pas toujours les nouvelles réponses, même en cliquant sur l'icône.
oui, ok pour le trinome maintenant
mais comme le dit brojer, il faut limiter à ]-1; 1[ pour le signe de la dérivée
donc
x -1 (1-3)/2 1 (1+3)/2 > 1 est en dehors de l'intervalle)
f'(x) ////// + 0 - /////D'accord merci, et pour le tableau de variation, j'ai seulement à mettre les flèches? croissante puis décroissante?
bein oui...
et de ce tableau tu en déduis pour quelle valeur de x la fonction est maximale et la réponse à la dernière question.
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