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Niveau troisième
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Triangle et hauteur

Posté par
PAPILLON06
27-10-17 à 07:56

  Bonjour à tous,

Toujours dans la même veine, je vous soumets le problème suivant.
ABC est un triangle. [AA'], [BB''] et [CC'] sont les hauteurs de ce triangle et se coupent en H.
a) Démontrer que les triangles ACC' et ABB' sont de même forme ainsi que les triangles AHC' et AA'B.
b) Écris les égalités correspondantes
c) Déduis-en:
AC' x  BA'  x  CB' =AB'  x  BC'  x  CA'  et
AC'  x  BA'  x  CB'  = k  x AB  x  AC  x  BC

pour le a), pas de problème
pour le b) j'ai trouvé les égalités suivantes à vérifier  C'C/B'B =  AC'/AB'  =  AC/AB
                                                                                                                    A'A/AH  = BA'/C'H =  AB/AC'

et pour le c), je n'y comprends rien.....
si quelqu'un pouvez m'aider! Merci par avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 08:39

Bonjour,

l'idée et de dire que ce qu'on a trouvé pour ACC' et ABB' est valable "cycliquement si on remplace A par B, B par C et C par A partout

C'C/B'B = AC'/AB'

mais aussi dans d'autres triangles :
A'A/C'C = BA'/BC'
et
B'B/A'A = CB'/CA'

en multipliant membre à membre ces égalités et en simplifiant il vient la première relation demandée

pour l'autre il existe toujours un nombre réel k tel que c'est vrai
comme k dépend du triangle ABC, je me demande où ils veulent en venir ...

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 09:00


Bonjour Mathafou,

Je dois avouer que je ne comprends pas ce qu'implique le mot cycliquement.....
Si vous pouviez m'éclairer !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 09:16


de façon cyclique
que quand on arrive à C on revient à A :

Triangle et hauteur

A devient B
B devient C
et C devient A

c'est une méthode générale dans les relations qu'on trouve dans un triangle

vu que A, B, et C jouent exactement le même rôle, chaque fois qu'on a trouvé une relation, on en trouve instantanément deux autres en opérant cette transformation deux fois (la 3ème fois on revient au point de départ : cyclique)
sans avoir besoin de la redémontrer (on dit aussi "de même ...")

un exemple
l'aire du triangle est S = 1/2 AA'.BC

en remplaçant une première fois A par B, B par C et C par A :
S = 1/2 BB'.CA

et si je recommence :
S = 1/2 CC'.AB

une troisième fois
S = 1/2 AA'.BC c'est celle de départ

toutes les relations dans un triangle sont en fait en triple "variantes"

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 09:45


Je me sens stupide.... C'est toujours aussi  obscure pour moi
Pourriez-vous me mettre un peu plus sur la voie?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 09:59

Citation :
C'C/B'B = AC'/AB' ça tu l'as démontré

mais aussi dans d'autres triangles (par permutation cyclique des A,B,C, ou "de même") :
A'A/C'C = BA'/BC'
et
B'B/A'A = CB'/CA'

en multipliant membre à membre ces égalités ...

multiplier des égalités membre à membre ça veut dire que
si a = b et c = d
alors a.c = b.d (si non nuls)

fais le !!

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 11:31

Cela a été laborieux, mais j'ai enfin réussi!!!
Merci beaucoup Mathafou.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et hauteur 27-10-17 à 18:53


Bonsoir tout le monde,
Toujours dans le même exercice, je suis à la recherche de piste concernant
Déduis -en :
  AC'  x  BA'  x  CB'  = k  x AB  x  AC  x  BC

Merci par avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et hauteur 02-11-17 à 20:49

Tu peux toujours appeler "k" ce qui va rester entre les deux en combinant les relations que tu connais
(celles "du genre" A'A/AH = BA'/C'H = AB/AC' )

vu que ce "k" n'a rien de constant (varie entre 0 et ≈ 0.12) mais dépend de façon "nébuleuse" (pour le moins) de la forme du triangle, je doute qu'on puisse faire mieux que ça !

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et hauteur 03-11-17 à 09:31

Bonjour,
Merci Mathafou



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