Il me semble possible de résumer en deux cas non disjoints :
x c ou x 120.

NB le bouton sous la zone de saisie permet d'accéder aux symboles et

Je précise que j'ai tenté de résumer les cas où le triangle est dans P(x).
Autrement dit, x c ou x 120 me semble être une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle puisse être partitionné en un nombre fini de triangles ayant au moins un angle de mesure x.

J'étais sur la même idée . Le résultat est évident sur le graphique avec x et c .  Le côté nécessaire a déjà été intégralement développé . Pour le côté suffisant , ton dernier exemple s'étend sans rien changé au cas ou x 120 .  Il resterait à trouver un exemple qui traiterait d'un coup le cas x [60 ; 120] et c x  ou un exemple qui montrerait que la partition est possible dès que x 120 .
Imod

Bonjour Sylvieg

J'ai commencé à reprendre le pdf avec les nouveaux éclairages , je ne le joins pas pour le moment car le problème est déjà bien gras . En résumé , trois résultats  : les trapèzes et les triangles avec les inégalités au sens large et la justification de la zone rouge .  Il reste à choisir parmi les autres résultats obtenus , ceux qui permettent de justifier que la zone restante est verte .

Je propose une sélection de trois cas qui permettent de conclure avec les figures déjà proposées . On peut proposer autre chose :

1° ) x 90° .
2°) x90° et cx .
3°) x90° et cx .

Imod

Bravo pour les inégalités larges

Je voulais mettre un message sur les mathématiques.net, mais je ne retrouve plus mon mot de passe et le site ne m'envoie pas de mail quand je dis que je l'ai oublié.
Idem en m'inscrivant avec un autre pseudo et une autre adresse mail

Sinon, je projette un nouveau sujet avec x = 35 dans un triangle équilatéral, pour chercher à minimiser le nombre de triangles de la partition.

Bonsoir

J'ai presque fini mon pdf , il ne me reste que le dernier cas à finaliser . J'arrive encore à joindre les maths.net  , je peux transmettre tes demandes au besoin .

Imod

Bonjour,
Pour les maths.net, je voulais simplement signaler que des réponses aux questions que tu posais avaient été trouvées ici.

D'accord , je n'ai pas eu le temps de finir mon nouveau pdf . J'essaierai de reprendre la rédaction demain ou après-demain et je te proposerai une version que tu pourras critiquer avant de finaliser le travail et clore l'exercice . Je passerai alors le message aux maths.net .

Imod  

D'accord.
En attendant, je m'amuse avec mon défi :
Chaque fois que j'y reviens, le nombre de triangles que je trouve diminue !

Une proposition de synthèse .
Imod


PDF - 71 Ko

Bravo Imod !
Je n'aurai sans doute pas le temps de tout regarder en détail d'ici demain.
Mais ce que j'ai déjà vu m'a donné envie de ne pas attendre pour donner le lien vers ton message dans les deux autres sujets.
Pourras-tu en faire autant sur les maths.net ?
Le lien va directement à ton message de 7h54

J'ai commencé à regarder ton dernier PDF.
Il me semble qu'il y a une coquille chaque fois que tu invoques le résultat 3.

En effet c'est un bug , c'est la proximité de la figure du 2 avec la formulation du 3 qui m'a perturbé .
Je propose une nouvelle version , si l'échange est possible ...


PDF - 71 Ko

Bonjour,
Quelques remarques encore :

Le résultat 3 ne traite pas la situation initiale du triangle équilatéral.
Il peut être reformulé ainsi :
x > 120 et x > c.

Je ne trouve pas où est traité le cas suivant :
90 < c < x <120
J'avoue que j'ai un peu de mal à m'y remettre complètement

Je pense que donner la conclusion avant les résultats partiels pourrait être plus motivant pour une lecture intégrale.
Elle est d'une simplicité étonnante au vu des différents cas qu'on est amené à étudier !

Je viens de réaliser que la conclusion est la négation de "x > 120 et x > c"

J'avoue que je n'ai pas trop cherché à faire dans la pédagogie mais plutôt à réduire le nombre de cas à étudier . D'autre part , il y a tout de même un côté attractif à découvrir la solution en fin de message . Je n'ai pas remis le graphique ( x , c ) pour ne pas dépasser les deux pages mais c'est clairement lui qui m'a guidé dans la rédaction du pdf .
De toutes façons tu as raison de me relire attentivement car en ce moment je suis un peu ailleurs . Je vérifierai les cas qui t'interrogent un peu plus tard . Merci pour ta relecture
Imod  

Ne te bouscule pas ; le sujet ne semble pas être très partagé et je suis bien occupée en ce moment.

N'ayant toujours pas trouvé où était abordé le cas 90 < c < x < 120, je propose de le traiter en utilisant la figure de cet exemple numérique :

Sylvieg @ 13-02-2026 à 14:31

Citation :
avec a=10 , b=70 et c=100 , x ne peut pas dépasser 110 .

Dans le triangle ABK, l'angle K mesure 115.
Dans le triangle BCL, l'angle L mesure 115.
Pour x = 115, il reste à partitionner le triangle CKL dont les angles mesurent 50, 65 et 65.
Sauf erreur de ma part.

Il me semble que le problème que tu évoques est lié à  un mélange dans les inégalités dont je suis coutumier . Je proposerai une énième version du pdf dans quelques temps .
Imod  

Même si je n'ai plus trop ma tête en ce moment , il me semble que tous les cas étaient étudiés dans le pdf . En relisant je me suis dit que les inégalités du résultat 5 auraient pu être  écrites dans l'autre sens pour ne pas perturber davantage le lecteur

Imod

  


PDF - 71 Ko

Je me suis replongée dedans en repartant du début et avec ceci présent à l'esprit :

Sylvieg @ 10-04-2026 à 10:10

Je viens de réaliser que la conclusion est la négation de "x > 120 et x > c"

Je t'avoue qu'ayant vraiment la tête ailleurs ,  j'ai un peu de mal à me remettre à l'exercice . J'avais essayé de synthétiser en ne prenant que deux paramètres x et c .

On peut visualiser les résultats 2 à 6 et le bilan sur l'illustration ci-dessous :



Après on peut remettre en cause l'un des résultats .

En tout cas , je ne sais plus si je l'ai déjà dit , sinon je le redis , merci de t'intéresser à ce problème que j'ai trouvé passionnant et sur lequel je me serai senti vraiment seul sans ta participation

Imod

  

Moi aussi, je trouve ce problème passionnant et te remercie de l'avoir posé.
En observant uniquement les graphiques, j'ai l'impression que celui en haut à gauche peut ne pas être utilisé pour le bilan en bas à droite.
Je me trompe ?

Je confirme que le résultat 3 représenté par le second graphique n'est pas "120 < c < x" mais "c < x et 120 < x".

De même, dans le graphique en bas au milieu, on peut avoir c < 90.
Il représente "c x et 90 x 120".

Tu as raison , j'étais vraiment ailleurs . Il reste une zone d'ombre qui a été éclairée dans les différents exemples proposés  mais qui n'apparait absolument pas dans la synthèse . Je vais y réfléchir .
Imod

Avec tes remarques je me suis rendu compte qu'il restait une zone d'ombre , le carré dont les extrémités d'une diagonale sont (x , c) = (120 , 60) et (x , c) = (180 , 120) .
Imod  

Je ne vois pas de zone d'ombre.
Voici comment on pourrait présenter les choses :

Deux lemmes pour commencer :
Le résultat sur les trapèzes.
Le résultat quand x 180-c.

Puis les trois cas où une partition existe :
x 90.
90 x c
c x et 90 x 120

Pour finir par le cas x > 120 et x > c.

Messages croisés
Je vais regarder.

C'est la zone rouge que tu "rognes" ?
Le 14 à 15h26, j'ai écrit :

Il n'y a aucune urgence , j'ai la tête ailleurs depuis un moment .
Imod

Bon , j'ai repris au calme l'ensemble des cas . La zone rouge est bonne , c'est simplement la formulation des contraintes qui n'est pas correcte . Il reste une petite zone triangulaire qui n'est pas illustrée par les exemples donnés : 90 < x < 120 et c > 180 - x  .  Je regarde s'il est possible de trouver un résultat 6 qui intègre cette configuration , sinon il faudra un résultat 7 .
Imod

J'avais simplement survolé tes messages pour me remettre au clair avec les miens . Pour ton résumé en deux lemmes et 3 +1 cas , il y a un cas qui m'interroge : c   x et 90   x   120 . Existe-t-il une configuration qui justifie ce résultat ou faut-il deux illustrations ?
Imod

Il me semble que la figure que j'ai fournie pour le résultat 6 fonctionne toujours pour le cas resté en suspens .
Je donne une nouvelle version du pdf avec les corrections . N'hésite pas à supprimer les versions précédentes et les commentaires qui s'y attachent .
Imod


PDF - 71 Ko

Bonjour,
Je ne pense pas que ce soit une bonne idée d'utiliser mon statut de modérateur pour modifier les messages précédents.

Hier matin, avant tes interventions, j'avais commencé à préparer une réponse pour la petite zone triangulaire.
Je voulais aussi y ajouter un plan différent du tien. Je n'avais pas eu le temps de le finaliser.
Ce n'est plus d'actualité pour la petite zone ; mais je poste quand même le plan ci-dessous.

Propriété 1 :
Si le réel b est le plus grand angle d'une base d'un trapèze et x 180-b alors ce trapèze appartient à P(x).

Dans la suite, le réel c est le plus grand angle d'un triangle T.

Propriété 2 : Si x 180 − c alors T appartient à P(x).

Cas 1 : Si x 90 alors T appartient à P(x).

Cas 2 : Si 90 x c alors T appartient à P(x).

Cas 3 : Si c x et 90 x 120 alors T appartient à P(x).

Cas 4 : Si x > 120 et x > c alors T n'appartient pas à P(x).

Conclusion : Le triangle T appartient à P(x) si et seulement si x c ou x 120.

On est sur le même schéma . C'est amusant de voir que pour T donné , les x qui conviennent sont ceux qui sont inférieurs à c ou inférieurs à 120 . Après la recherche d'un nombre minimal de triangles pour la partition comme dans ta nouvelle proposition , la recherche risque d'être très compliquée . Même pour trouver une borne supérieure , il faut faire intervenir les angles a et b et les calculs n'ont alors rien de distrayant .
Imod