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Triangularisation des matrices
Bonjour
je voudrais bien savoir une chose à propos de la triangularisation ds matrices
soit 0 1 0 UNE matrice à triangulariser
-4 4 0
-2 1 2
on en déduit directement que 2 est sa valeur propre triple
on obtient donc comme vecteurs propres V1= (1,2,0) et V3 = (0,0,1)
faut chercher un vecteur propre V2 pour complèter V1 et V3 afin de construir une base
je choisi V2 = (x,y,z) soit B= (V1,V2,V3 ) une base tel que A' = 2 a 0
0 2 0
0 0 2
Reste à chercher a et V2 en résolvant A X = a V1 +2 V2 avec V2= (x,y,,z) et V1= (1,2,0)
c bien ça???on choisit arbitrairement les a b et c de la matrice triangularisée k on cherche à avoir ?
et si je prends A'= 2 0 b
0 2 c
0 0 2
puis je cherche b et c avec V3 = (x,y,z) et V1= (1,2,0) et V2 = (0,0,1) c juste aussi???
merci d avance de m avoir aidéé
autre question svplé si le polynome caractéristique de notre matrice est scindé donc la matrice est triangularisable .cette condition est suffisante ???
si on veut triangulariser une matrice et on a deux vecteurs propres , donc on cherche un troisième pour construir une base , soit on cherche b et c et le troisiéme vecteur inconnu V on pose dés le départ a= 0 ( comme l exmple que je viens d écrire) soit on pose b=c=0 et on cherche a et le vecteur V ??
et lorsqu on a un seul vecteur propre alors on est obligé de chercher a , b et c et deux autre vecteur inconnus?
c bien ça ????je me trompe pas???
merci merci d avance
Bonjour farida,
Tout d'abord, je suis ok avec ta valeur propre et tes vecteurs propres.
Cela dit je ne comprends pas bien ta démarche qui suit.
Si u=(1,2,0) et v=(0,0,1) sont tes deux vecteurs propres alors il suffit de completer la famille (u,v) en une base (u,v,w) de R3.
De cette facon, dans la base (u,v,w) ta matrice sera de la forme .
Les scalaires a et b sont entièrement déterminés par l'écriture de Aw=au+bv+2w.
autre question svplé si le polynome caractéristique de notre matrice est scindé donc la matrice est triangularisable .cette condition est suffisante ???
Oui, c'est même une condition nécessaire ! Une matrice A est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.
Merci infiniment Narhm
mais je peux pas prendre par exemple la matrice 2 a 0
0 2 0
0 0 2
au lieu de :
2 0 a
0 2 b
0 0 2
merci encore une fois (:
Si dans ce cas là, on peut le faire mais c'est plus technique ( et ça n'est pas toujours possible ).
Donc il faut modifier un peu les bases pour obtenir ceci.
En particulier, il te faut deux vecteurs e1,e3 dans ker(A-2)=Vect(u,v) et un troisième e2 vérifiant Ae2=2e2+ae1 ok ?
Et bien on ne peut pas toujours trianguler une matrice comme on veut. (Mais on peut toujours arranger les choses pour n'avoir au plus qu'un coefficient au dessus de la diagonale dans chaque colonne.)
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