Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Trigonalisation
Au secours, je n arrive pas a trigonamiser une matrice qui m est donnee
-4 1 0 1
-2 -1 0 1
-12 6 3 1
-2 1 0 -1
j ai -2 valeur propre triple et 3 valeur propre simple
la dimension du sev associé a -2 est 2 engendré par 1 0 2 2
et 0 1 -1 -1
je trouve une base de R4, avc u1= (1 0 2 2) u2=( 0 1 -1 -1) e3=(0 0 1 0) et e1=( 1 0 0 0)
c bien une base ces vecteurs st lineairement independants
car det de ces vecteurs = 2
ensuite je sasi que f(u1)=-2u1
f(u2)=-2u2
f(e3)=3e3
et j essaie d exprimer f(e1) en fonction de u1 u2 u3 et e1
je trouve apres calculs f(e1)=-2u1 -2u2-10e3-2e1
at apres je bloque je ne sasi pas quoi faire !
j ai jeté un coup d oeil dans les livres uns eul exemplee st detaillé et je comprends pas d ou sortent ces chiffres!
quelqu un peut m aider svp?
Bonjour, gunsouci.
Ton exercice est terminé puisque la matrice de f dans la base (u1,u2,e3,e1) vaut:
(si tu n'as pas fait d'erreur dans tes calculs que je n'ai pas vérifiés)
Bonsoir.
Je te propose la même approche. Dim(E3) = 1 et dim(E-2) = 2. Voilà mes résultats :
Vecteur propre associé à la valeur propre 3 : e1 = (0,0,1,0)
Vecteurs propres associés à la valeur propre -2 : e2 = (1,2,0,0)
e3 = (0,-1,1,1)
Le polynôme caractéristique étant scindé sur R, l'endomorphisme f associé à la matrice initiale est trigonalisable.
On peut penser que cette matrice triangulaire sera du type :
Les vecteurs e1, e2, e3 vérifient :
f(e1) = 3e1 f(e2) = -2e2 f(e3) = -2e3
on peut donc les choisir comme trois premiers vecteurs d'une base trigonalisante.
Cherchons donc le dernier e4 tel que :
f(e4) = a.e2 + b.e3 - 2.e4
ou :
(f + 2Id)(e4) = a.e2 + b.e3
Cela se traduit par un système :
En comparant les équations 1°, 2° et 4°, on a de suite a = b
Enfin, en résolvant avec y et t comme inconnues principales, on trouve :
e4 = ( x , 2x-z , z , z-b)
En choisissant x = z = 0 et b = 1, on prendra e4 = (0,0,0,-1)
Alors, sur B' = (e1 , e2 , e3 , e4)
Il y a naturellement d'autres décompositions
A plus RR.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac