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Trigonalisation d'une matrice avec base cyclique
Bonsoir,
Je suis un peu bloqué dans mes révisions. Je n'arrive pas à trigonaliser la matrice suivante :
( 0 0 1 0 )
( 0 0 0 1 )
( 0 -1 1 1 )
( -1 0 1 1 )
Le polynôme caractéristique, donné dans l'énoncé est : (X+1)(X-1)^3
On doit donc avoir un bloc de Jordan 3*3 dans la matrice trigonalisée à la fin mais je n'arrive pas à avoir la base cyclique du sous-espace caractéristique N1. Si vous pouriez m'aider, ce serait vraiment sympa 
Juste pour vérifier, j'ai trouver le vecteur (1 -1 -1 1) pour générer le sous-espace propre E1, c'est bien ça ?
Bonjour,
L'espace propre n'est pas de dimension 1, revois tes calculs (et du coup, tu n'as pas de bloc de Jordan 3*3 dans ta matrice).
Ensuite, tu n'as plus qu'à trouver une base de E(-1) et E(1). Il te suffira de la compléter par un seul vecteur, ce qui ne sera pas très dur vu la condition que tu dois lui imposer pour avoir une forme de Jordan.
ok je vais essayer mais je croyais qu'on était obligé de passer par l'espace caractéristique pour avoir une forme de Jordan, du coup c'est quoi comme genre de condition qu'il faut poser pour l'obtenir en passant par l'espace propre ?
Avant tout, regarde la dimension de E(1), ce te dira quels sont les blocs de Jordan possibles dans ta matrice.
Après quoi, tu vas voir comment doit être ta matrice et la condition viendra toute seule.
Franchement, j'ai cherché mais je n'ai pas trouvé de condition ou quoi que ce soit d'autre qui me mettent sur la piste du dernier vecteur de la matrice de passage.
Pour l'instant j'ai les vecteurs qui génèrent E-1 (1 -1 -1 1) et E1 ((1 0 1 0) et (0 1 0 1)) mais à part mettre un vecteur au hasard en complétant la matrice de passage, je ne vois pas comment continuer et j'aimerais comprendre ce truc vu que j'ai un DS important dans une semaine.
Ok, alors comme tu as un espace de dimension 2 alors que ton espace caractéristique est de dimension 3, il n'y a qu'un bloc 2*2 de Jordan.
Ainsi ta matrice triangulée va être de la forme dans la base e1,e2,e3,e4.
Ce que tu veux, c'est déterminé les vecteurs e1,e2,e3 et e4 toi.
Déjà, pour e1, c'est tout fait : (1,-1,-1,1) convient. J'appelle A ta matrice initiale.
Les trois autres vérifient : Ae2=e2, Ae3=e3 et Ae4=e3+e4 , ok ?
Mais en plus, tu souhaites que (e2,e3) engendre l'espace propre E(1) et tu remarqueras que si Ae4=e3+e4 alors (A-I)e4=e3 donc il ne faut pas que e4 soit dans E(1) mais dans ker((A-I)^2).
Avec tout ca, tu dois pouvoir tout ce qu'il te faut.
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