Tout d'abord tes calculs du Pol. Car. / Pol. Min. & de sont correctes.

Je regarde la suite...

Ton choix de v1 est incorrecte car il ne créé par une matrice de Jordan (au passage, une matrice peut très bien être triangulaire sans être de Jordan...)

Il faut choisir un élément de Ker(A-2I) avec (v1, v2, v3) libre, par ex v1=(1,2,0).

Là ca te donne une matrice de la forme
(2 0 0)
(0 2 1)
(0 0 2)

Qui est bien une matrice de Jordan.

La suite dans un instant...

Oups !

J'ai rien dit ! J'avais lu (je ne sais pas comment !!!) v1 = (1,0,0).

Je retire donc ce que je viens de dire : ton choix de v1 est tout à fait correcte !

Une remarque immédiate : D n'a aucune raison d'être diagonalE mais doit être être diagonalisABLE. Ca n'a rien à voir.

D'ailleurs, effectivement c'est grave que tu ne sois pas dans la bonne base pour D et N...

Alors revenons à ce que je disais : ici diagonale et diagonalisable est pareil car il n'y a qu'une seule valeur propre (2) et D = 2I.

(En fait, je faisais la distinction, importante, car la décomposition A = D + N est la décomposition de Dunford et il y a une grosse différence entre diagonalisable et diagonale. Mais je me demande si la décomposition de Dunford est au programme de Spé. Si ce n'est pas le cas, oublies ces considérations)

Cela donne donc

   (2 0 0)   (-2 1 0)
A= (0 2 0) + (-4 1 0)
   (0 0 2)   (-2 1 0)

Je ne comprends pas ...
Il me semble que ça n'est pas égal à A.

   (2 0 0)   (-2 1 0)    (0  1  0 )
   (0 2 0) + (-4 1 0) =  (-4  3 0 )
   (0 0 2)   (-2 1 0)     (-2 1  2 )

alors que A = ( 0 1 0
               -4 4 0
               -2 1 2 )


Mais si je change N
   (2 0 0)   (-2 1 0)    (0  1  0 )
   (0 2 0) + (-4 2 0) =  (-4  4 0 )   =A
   (0 0 2)   (-2 1 0)     (-2 1  2 )

N n'est plus nilpotente.

???
D'après l'énoncé, " En déduire la décomposition A= D+N où D est diagonale et N nilpotente, D et n étant permutable." , j'avais supposé que cette décomposition dépendait de la matrice de jordan que l'on avait trouvé.
Je ne comprends pas trop quel raisonnement je dois tenir. Peux-tu me l'expliquer?

Oui, tu as bien fait de me corriger (de remplacer le 1 par un 2). Et oui, cette matrice est bien nilpotente (la mettre au carré)

Alors voici le raisonnment. Reprenans, notre décomposition de Jordan, on trouve :
donc

Il est inutile de calculer , car soustraire 2I à A n'est pas bien difficile...

Ca t'éclaire ?

Héhé ça veut dire quoi E23 ?

ohh je suis bête!  Ok ton E23 c'est mon N c'est ça? La matrice nilpotente...

Donc une fois que j'ai calculé PNP^-1= A-2I   je suppose que  j'utilise le binôme de Newton... Super je retombe bien sur l'expression de A^n que j'ai trouvée tout à l'heure.

Bon c'est maintenant que je vous fait bosser  
J'ai du mal à comprendre le raisonnement qui permet de trouver les vecteurs propres. J'ai trouvé plusieurs exercices pas mal détaillés dans des bouquins, mais  je ne suis pas très sûr de moi malgré cela.
Si je prends l'exercice que je viens de traiter. Et si on m'avait juste demandé de trigonaliser A.

J'aurais cherché le polynôme caractéristique P(X)= (X-2)^3.
Puis j'aurais dit que

ker(A-2I)= vect((1,-2,0),(0,0,1))   (sauf erreur je vais un peu vite...)

Ensuite ça bloque un peu. Déjà!

ker(A-2I)= vect((1,2,0),(0,0,1))

En gros si quelqu'un pouvait me donner la marche à suivre quand on veut trigonaliser une matrice, avec le raisonnement qui va avec

Ah et je n'ai pas compris le lien qu'il y a entre la quesion où l'on crée les vecteurs pour mettre A sous forme de Jordan, et celle d'après où l'on nous dit:
"En déduire la décomposition A= D+N où D est diagonale et N nilpotente, D et n étant permutable."

Alors déjà la trigonalisation des matrices n'est pas au programme de Spé. Il est dit clairement (à vérifier mais franchement j'en suis presque sûr) dans le programme que le sujet doit donner la marche à suivre. Donc ne cherche pas une méthode générale, elle ne t'est demandé.

Par contre, il est intéressant que tu comprennes bien la méthode lorsqu'elle t'est proposée.

Ici, on cherche D diagonale + N nilpotente grâce au fait que tu sais que la matrice est dans une base sous une forme de Jordan.

Tu sais donc que où où est l'élément de la base canonique de dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la deuxième ligne et troisième colonne.

En composant, à gauche et à droite par, respectivement, et , tu retrouves .

D'où l'idée de choisir qui sera forcément niloptente car comme tu le sais grâce à ton calcul du polynôme minimal.

Est-ce que cela t'éclaire ? Dis-moi sinon ce qui te pose pb.

Super là ça s'éclaircit bien

C'est fou comme c'est agréable quand les choses s'emboîtent bien

Par contre est-ce que c'est trop difficile de comprendre à mon niveau comment trouver les vecteurs de la base dans laquelle la matrice qu'on veut trigonaliser est sous la forme de Jordan? J'aime bien savoir d'où vient ce que je fais. Sinon ça ne rentre pas

Dans cet exemple, j'ai retrouvé les vecteurs de cette base en prenant simplement
les deux vecteurs de ker(A-2I)= vect((1,2,0),(0,0,1))=vect(u1,u2)
et en y ajoutant un vecteur de telle manière que (u1,u2,u3) forme une base de IR^3.
C'est une méthode que je crois avoir rencontré dans un bouquin mais que je ne comprends pas.

Donc mes trois vecteurs sont
u1= (1,2,0)  u2=(0,0,1)  et u3= (0,1,0)

f(u1)= 2u1
f(u2)= 2u2
f(u3)= 2u3 + u2 + u1  

avec f: (x,y,z)-> (y,-4x+ 4y, -2x+ y + 2z)

et ma matrice A dans la base A' devient

A'= (  2 0 1
       0 2 1
       0 0 2 )

ce qui fonctionne aussi il me semble. Ca aurait aussi marché avec n'importe quel vecteur formant une base de IR^3 avec u1 et u2 je suppose.
J'aimerais comprendre comment ça fonctionne... Sauf si c'est trop casse pied à expliquer.