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Trigonométrie 1ère

Posté par
louis087
18-11-20 à 15:54

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
1) ABC est un triangle isocèle en A, tel que AB=AC=a et l'angle BAC=a (en radian).
H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Démontrer que BC= 2a*sin(a/2).

2) Dans un repère orthonormé (O; I; J), on considère le cercle trigonométrique et le point M associé au réel pi/4.
a) Déterminer les coordonnées de M dans le repère (O; I; J).
b) Calculer IM.
c) En déduire la valeur exacte de sin (pi/8) puis celle de cos(pi/8).
Merci d''avance à ceux qui m'aideront.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 16:16

Bonjour

Que proposez-vous  ?

Que pouvez-vous dire de (AH) ,de \widehat{BAH} ?

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 16:45

Je pense que H est le milieu de BC et donc que l'angle BAH vaut a/2.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 16:48

Bien

(AH) est  médiatrice de [BC] et bissectrice de \widehat{BAC}  donc oui

appliquez la trigonométrie dans le triangle rectangle BAH

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 16:56

Je pense que ça donne BH=AH/AB

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 17:08

????

\dfrac{AH}{AB}=\cos \left(\dfrac{a}{2}\right)

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 17:11

Ah pardon je me suis trompé. Du coup ça donnerai sin(a/2)= BH/AB

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 17:15

BH=  ? puis BC

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 17:45

En faisant une équation je trouve :
BH=AB*sin(a/2)
Ensuite comme BC=2*BH :
BC=2*AB*sin(a/2).
Mais du coup je ne vois pas comment "transformer" AB en a

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:00

En lisant le texte

Citation :
ABC est un triangle isocèle en A, tel que AB=AC=a


Certes le choix est peu judicieux,  pour l'angle ils auraient pu prendre \alpha

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:01

Ah oui effectivement je n'y avait pas pensé. Merci

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:07

On passe à 2

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:12

Oui,
Du coup il faudrait que je trouve le cosinus et le sinus du point M

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:12

?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:15

On les connaît sans problème  \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:18

Effectivement ils sont donnés dans mon cours. Du coup je dois dire que les coordonnées sont M(racine de 2/2; racine de 2/2)

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:26

Oui

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:31

Pour la b, faut-il calculer par rapport au périmètre de I jusqu'à M ou faut-il calculer par rapport au triangle OIM ?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:40

IM est une longueur

Il y a peut-être un lien avec la question précédente  1)

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:49

IM=pi/4 radian ?

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 18:59

Soit m le projeté orthogonal de M sur (OI)
Que pouvez vous dire de m ?  Ses coordonnées  Du triangle MmI  ? de [ IM]

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 19:03

m aurait pour coordonnées (racine de 2/2; 0). Le triangle MmI serait rectangle en m et il faudrait utiliser le théorème de pythagore pour calculer IM.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 19:16

Un indicatif serait mieux  que le conditionnel

Faites  sans oublier le résultat précédent

Trigonométrie 1ère

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 19:32

Après utilisation du théorème, je trouve IM²= 2- racine de 2 donc IM= racine de (2- racine de 2)

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 19:39

Oui mais aussi  ?

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 19:56

Désolé je ne comprends quoi faire de plus

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:08

Une autre manière de calculer IM voir question 1

IOM est un triangle isocèle en O  (OA ) est la hauteur  etc  dans le triangle

\widehat{IOA}=\dfrac{\pi}{8}

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:32

D'accord, on peut reproduire le raisonnement de la question 1. Merci.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:37

donc \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)= ?

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:46

sin(pi/8)= AI/OI

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:54

Par contre je ne suis pas sur de comprendre comment on trouve IOA=pi/8.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 20:56

Vous risquez de tourner en rond

IM  joue le rôle de BC , OI et OM ceux de AB et AC  et   \dfrac{\pi}{4}
celui de a en radian

On a donc d'une part

  IM =2OI \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)

et d'autre part IM=\sqrt{2-\sqrt{2}}

d'où

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:01

Ah d'accord. Mais du coup OI étant égal à 1, on peut dire que sin(pi/8)= IM/2 donc à (racine de(2- racine de 2))/2

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:05

Je n'allais quand même pas tout faire !

\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

maintenant le \cos

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:15

cos(pi/8)= AO/OI
                    = AO/1=AO
AO=1
Donc: cos(pi/8)= 1

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:19

Certainement pas   \cos\theta =1\  \theta =2k\pi

Utilisez la relation que vous avez dû voir en 3 e

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:34

Je ne vois pas de quelle relation vous parlez. Est-ce que c'est cosinus=adjacent/hypoténuse

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:39

Un léger lien avec Pythagore  sans doute !

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:43

Du coup cos²(pi/8)=1- sin²(pi/8)

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:44

Et sin²(pi/8)= 2- racine de 2/4

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 21:57

C'est du calcul élémentaire  Oui

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:03

Au final j'ai trouvé cos(pi/8)= 1-(racine de ( 2- racine de 2))/2

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:07

Non

 \cos ^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1-\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{4-(2-\sqrt{2)}}{4}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}

d'où \cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)=

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:12

cos(pi/8)= racine de (2- racine de 2))/2
Donc cos(pi/8)=sin(pi/8)

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:15

Non  Il n'y avait que la racine carrée à prendre   le radicande ne change pas

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:20

Du coup cos(pi/8)= racine de((2- racine de 2)/4)

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:29

Non toujours pas car il y a un + et vous écrivez -

\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)= \dfrac{\sqrt{2  {\color{red}{+}} \sqrt{2}}}{2}

Posté par
louis087
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:32

Ah oui je n'avais pas fait attention.
Merci d'avoir pris tout ce temps pour m'aider.

Posté par
hekla
re : Trigonométrie 1ère 18-11-20 à 22:34

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Trigonométrie 1ère

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