Bonjour!
J'ai une petite question à laquelle je n'arrive pas à répondre dans mon DM de spé maths :
"démontrer que, dans le cas général, si (x,y,z) est un triplet pythagoricien, alors l'un au moins des nombres x,y,z est un multiple de 3"
J'ai essayé de raisonner par l'absurde soit :
Supposons qu'x,y et z soient des multiples de 2, ils sont donc tous trois pairs... mais en fait ça ne mène à rien, car la somme de deux carrés pairs peut donner un carré pair...
De plus si je suppose que tous trois sont impairs, ça marche, mais ça me prouve seulement qu'il y a un au moins un entier pair, et moi je cherche au moins un impair..
Merci de m'aider !
Bonjour,
dans le langage des congruences ça se résout en deux lignes et un tableau :
un carré est forcément congru à 0 ou à 1 modulo 3 etc
sans le langage des congruence ça veut dire qu'un nombre ne peut être que 3k, 3k+1 ou 3k + 2
calculer son carré et l'écrire sous la forme 3p + r, dans chacun de ces trois cas.
observer les différentes valeurs possibles de r
et regarder ce que ça donne quand on fait la somme de deux de ces trucs là (x² + y²) dans les différents cas possibles (il n'y en a que très peu !)
pour chacun d'eux est-il possible d'avoir alors une égalité avec un "z²" dont on sait que le reste par 3 est une des valeurs précédemment observées ...
c'est exactement pareil que les congruences mais seulement en plus "filandreux".
les congruences ici n'apportent qu'un allègement de la rédaction et rien d'autre.
Ok.. Donc le carré de 3k -> 3k^2 , 3k+1-> (3k+1)^2 et 3k+2-> (3k+2)^2
les valeurs possible de r sont 0,1 et 2
Pour les sommes ils faut donc additionner par exemple : 3k+3k ; 3k+ (3k+1)^2 etc?
??
tu as seulement développé les sommes au carré ??? non.
tu penses sans doute que ça ne sert à rien ...
(3k+2)² = .... = 3p + r
valeur de r ? (et non ça ne fait pas 2)
Ah la valeur de r est 4 pour (3k+2)^2 -> 3(3k^2+4k) + 4
Donc maintenant pour faire la somme de tout ça ... il faut par ex faire : 9k^2 + 3(3k^2+2k)+1 ..? J'ai l'impression que ce que je fais est faux encore une fois
4 = 3+1
et donc les seules valeurs de r sont 0 (si x = 3k) ou 1 (si x = 3k+1 ou 3k+2)
x² + y² sera donc de la forme 3m + t avec t = .. (en choisissant indépendamment x et y : 3cas à examiner)
m correspond à quoi ? Je ne comprends pas comment à la fin on arrivera a prouver qu'il y a au moins un entier impair..
tu as seulement lu l'énoncé ??? ça n'a rien à voir avec des nombres pairs ou impairs !!
on demande de prouver qu'il y en a au moins un qui est multiple de
mes k, m, p, r, s etc c'est des nombres inconnus dont on se fiche complètement du moment qu'ils existent
x multiple de 3 veut dire il existe k tel que x = 3k
y multiple de 3 veut dire il existe p tel que y = 3p (et j'ai donné des noms différents parce qu'il n'y a aucune raison que k soit égal à p)
et pareil pour tous mes autres noms. c'est juste des il existe m tel que ...
Bonjour,
Les trois valeurs du triplet (x,y,z) sont des entiers positifs.
Deux cas possibles:
z-x = 0 [3]
z-x 0 [3] et alors z+x = 0 [3]
En clair y est toujours multiple de 3,
Alain
Bonjour Mathafou, j'essaie de comprendre depuis hier soir mais en vain. Je ne comprends pas quoi mettre lorsque vous écrivez "3m+t" doit on écrire "3(3k)+1" "3(3k)+2" ?
Est ce que vous pouvez me donner un exemple pour le 1er cas ? Ça m'aidera peut être à comprendre la mécanique à suivre pour les deux autres.
Oui,
Il y avait des étapes à rétablir:
A) z ou x divisible par 3. RESOLU;
B) ni z ni x divisibles par trois
...
Amicalement,
Alain
"le 1er cas" ??
de quoi tu parles ?
il suffit d'expliciter les calculs et de développer correctement les identités remarquable pour avoir des valeurs à mettre sur mes m, n, p, r, s, ...
je te le rédige parce que on ne va pas y passer des semaines non plus.
on a trois possibilités pour un carré (un carré tout seul) de par exemple x :
1) x est un multiple de 3 : x = 3k, son carré x² = (3k)² = 9k² = 3*(3k²) est "évidemment" un multiple de 3 (reste nul) sans qu'il soit besoin de pinailler pendant des jours là dessus
2) x = 3k+1 est un multiple de 3 plus 1, alors x² = (3k+1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 est un multiple de 3 plus 1 aussi (reste = 1)
3) x = 3k+2 est un multiple de 3 plus 2, alors x² = (3k+2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 est encore un multiple de 3 plus 1
conclusion
un carré est toujours un multiple de 3, ou un multiple de 3 plus 1,
c'est à dire un carré est toujours de la forme 3m ou bien 3m + 1
on veut maintenant faire la somme de x² et y²
il y a trois cas à considérer
- ils sont tous deux (les carrés) multiples de 3
- l'un et un seul est multiple de 3, l'autre est un multiple de 3 plus 1
- ils sont tous les deux des multiples de 3 plus 1
ce sont les seuls cas à considérer puisqu'on vient de prouver qu'un carré ne peut être que un multiple de 3 ou un multiple de 3 plus 1
ceci indépendamment du fait que on veut en plus que leur somme soit elle même un carré
il faut donc étudier les trois cas pour savoir si c'est possible :
1er cas : deux carrés multiples de 2, leur somme est donc un multiple de 3 : 3m + 3n = 3(m+n)
2ème cas : un seul est multiple de 3, leur somme est multiple de 3 plus 1 : 3m + (3n+1) = 3(m+n) + 1
3ème cas : les deux sont multiples de 3 plus 1, la somme est multiple de 3 plus 2 : (3m+1) + (3n+1) = 3(m+n) + 2
ce dernier cas est donc impossible puisque ce devrait être un carré, donc soit un multiple de 3, soit un multiple de 3 plus 1
conclusion
pour que x² + y² = z² il est nécessaire que au moins un de x et y soit multiple de 3 (son carré multiple de 3, donc lui-même multiple de 3)
attention que cela ne suffit pas
c'est juste nécessaire
c'est à dire que si x² + y² = z² alors on a obligatoirement x ou y ou les deux multiples de 3.
* 1er cas : deux carrés multiples de , leur somme ...
on a beau se relire 15 fois, il reste toujours des fautes de frappe.
Merci beaucoup! J'avais donc réussi la première partie mais j'avais du mal après avec les m,n,t...etc
De retour,
Je veux rester courtois et souhaite développer une approche par factorisation.
Je précise dons ma démarche:
Une alternative
z ou x multiple de 3,pb résolu.
OU
l'autre alternative
ni z ni x multiples de 3,je factorise:
1° y divisible par 3 Ou
2°
alors et y divisible par 3
C.Q.F.D
Alain
désolé mais je ne comprends toujours, et déja dit, pas du tout pourquoi dans le second cas tu peux affirmer que z+x = 0 modulo 3 ...
avec ce que tu as écrit RIEN ne permet de l'affirmer.
rien ne permet d'affirmer qu'il n'y a pas un 3ème cas où ni z-x ni z+x ne seraient ni l'un ni l'autre multiple de 3.
il y a juste un énorme trou dans ta démonstration.
(qui peut se combler facilement, mais en l'état ça reste un énorme trou)
Bon,
Il n'y a pas de 3ème cas.
Modulo 3 ,si z et y ne sont pas multiples de 3 ,
il reste 1 et 2 [3] ,de plus
...
alain
Bon après-midi,
Depuis l'année dernière je me suis mis à ces problèmes de congruence
qui m'étaient peu familiers,j'essaie de me représenter les choses et
de proposer ,j'ai le temps de la rechercher,une solution simple ancrée
dans le sujet lui-même,ici la congruence,
alain
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