1.  si n = 2, alors 8 n ² + 1 = 33, 33 n'est pas premier donc n > 2
si n est premier et n > 2 alors n est impair,
n = 3 alors 8 n ² + 1 = 73, 73 est un nombre premier donc n = 3 convient
si n > 3 alors n 1 (modulo 3) ou n - 1 (modulo 3) donc 8 n ² + 1 0 (modulo 3)
3 divise 8 n ² + 1 donc 8 n ² + 1 n'est pas premier si n > 3

2.  b = a + r, c = a + 2 r
a, b, c sont des nombres premiers strictement supérieurs à 3 donc sont impairs donc b - a est pair donc 2 divise r.

dans ce qui suit, k, k', k", n et q sont des entiers naturels
a et c sont premier et a > 3 et c >  3 alors a et c sont impairs, et a = 3 k + 1 ou a = 3 k + 2 de même pour b et c
en envisageant les différents cas :
si a = 3 k + 1 et b = 3 k' + 1 alors r = b - a = 3 (k' - k) donc 3 divise r
2 et 3 sont premiers entre eux donc 6 divise r

si a = 3 k + 1 et b = 3 k' + 2 alors :
soit c = 3 k" + 1 (on est dans le cas précédent) 2 r = c - a = 3 (k" - k)
3 divise 2 r, 2 et 3 sont premiers entre eux donc 3 divise r
2 et 3 sont premiers entre eux donc 6 divise r

soit c = 3 k" + 2 donc 2 r = c - a = 3 (k" - k) + 1
de la forme 2 r = 3 q + 1
L'équation - 3 q + 2 r = 1 admet pour solutions q = 2 n - 1 et r = 3 n - 1 or r est pair donc impossible
donc si a = 3 k + 1, r est divisible par 6.

idem si a = 3 k + 2
d'où le résultat


3.  a = 24 a', b = 24 b' et a' et b' premiers entre eux
donc 24 (a' + b') = 276 soit 2 (a' + b') = 23 ce qui est impossible : 23 n'est pas un nombre pair donc pas de solution