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Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux points

Posté par
Nunaleo 30-05-11 à 12:08

Bonjour à tous,

Après avoir parcouru plusieurs forums et usé quelques feuilles je ne trouve pas de méthode qui me permet de trouver les coefficients a,c et d de la fonction homographique f(x)= a.x /(c.x + d) en ayant au minimum 3 points d'une courbe L(xl,yl), M(xm,ym), N(xn,yn).

Si j'essaie de mettre sous forme de système de 3 équations à 3 inconnus j'obtiens comme approche
(-xl/yl).a + xl.c + d = 0
(-xm/ym).a + xm.c + d = 0
(-xn/yn).a + xn.c + d = 0

Mais résoudre en mettant ce système sous forme matricielle n'est pas concluant.

Pourriez vous me mettre sur la voie pour determiner ces coefficients sachant que si besoin je peux avoir d'autres points de la courbe représentative de la fonction.
Merci

Posté par
dhaltere : Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux poi 30-05-11 à 12:10

attention : tes coefficients sont connus à une constante multiplicative près, donc ton système d'équations a une infinité de solutions.

Posté par
Nunaleore : Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux poi 30-05-11 à 12:20

Je vois, il faudrait que j'ai en plus par exemple les asymptotes pour me démeler mon affaire.

Merci pour la réponse.

Posté par
dhaltere : Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux poi 30-05-11 à 12:40

asymptotes ?
je ne vois pas ce que ça a à voir avec le potage

si c=0 alors f(x)=\frac xd il n'y a  plus de discussion

sinon

f(x)=\frac{\frac acx}{x+\frac dc}

posons e=\frac ac et f=\frac dc

alors f(x)=\frac{ex}{x+f}
et tu vois que ta fonction ne dépend plus que de 2 constantes, pas 3, c'est en cela que je te disais que tes constantes initiales, a, c, d, n'étaient connues qu'à une constante multiplicative près.

pour les asymptotes :
f(x)=\frac{ex}{x+f}=e-\frac{ef}{x+f}
une asymptote verticale x=-f
une asymptote horizontale y=e

Posté par
Nunaleore : Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux poi 30-05-11 à 14:30

J'avoue mettre enfermé à vouloir résoudre ce problème en gardant 3 coefficients alors que 2 suffisent... donc pas besoin a priori de 3 points puisque la courbe de la fonction homographique ax/(cx+d) passe forcement par 0 en plus.

Très bien je vais repartir avec ça, merci pour la rapidité de la réponse.

Posté par
dhaltere : Trouver coeff a,c,d de fonction homographique grace aux poi 30-05-11 à 14:38

si tu m'entends encore, ton dernier argument n'est pas une explication du fait que ce système ne dépend que de deux variables, puisque on peut réduire le nombre de variables quelle que soit la fonction homographique envisagée :

3$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} avec c\not=0

peut s'écrire
3$f(x)=\frac{ex+f}{x+g} qui ne dépend que de 3 variables, en posant
3$e=\frac ac
3$f=\frac bc
3$g=\frac dc

dans ton cas, on a simplement b=0


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