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Trouver l'ensemble des applications
Bonsoir tout le monde , j'ai trouvé une question dans un concours qui me demande de trouver les applications dérivables de R--->R qui vérifient cette relation :
Quelque soit (x,y) de R² f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)
ps : x^n= x a la puissance n
Merci d'avance
bonsoir : )
Il y a une fonction qui est solution de façon évidente. (Ne cherche pas loin, c'est une fonction élémentaire.)
Si tu réussis à la trouver alors il ne te restera plus qu'à prouver qu'elle est la seule (et là encore l'étude est bien simple).
Rectification :
Si est une fonction solution alors
l'est également.
Démontre que si est solution alors
est linéaire.
salut
(x, y) = (-1, -1) => f(0) = -f(-1) + f(-1) = 0
(x, y) = (1, -1) => f(0) = f(1) + f(-1) <=> f(-1) = - f(1)
(x, y) = (1, y) => f(1 + y) = f(1) + f(y) <=>
f est donc linéaire de coefficient directeur f(1)
si y = 0 alors
donc pour tout x non nul f(-x) = - f(x)
et puisque f(0) = 0 = - 0 on en déduit que f est impaire
....
Analyse :
Soit solution.
Pour fixé, une dérivation par rapport à
nous donne que
est constante donc
est une fonction affine.
De plus, il est immédiat que d'où
est linéaire.
Synthèse :
Si est linéaire alors
est solution.
Conclusion :
Les solutions sont exactement les fonctions linéaires, i.e. de la forme avec
.
bonsoir : )
Il y a une fonction qui est solution de façon évidente. (Ne cherche pas loin, c'est une fonction élémentaire.)
Si tu réussis à la trouver alors il ne te restera plus qu'à prouver qu'elle est la seule (et là encore l'étude est bien simple).
mdr_non merci déja pour ton intervention , en fait oui j'ai trouvé une solution particulière qui est I : x----->x mais le probleme c'est comment conclur que l'ensemble des applications qui vérifient cette relation sont linéaires
salut
(x, y) = (-1, -1) => f(0) = -f(-1) + f(-1) = 0
(x, y) = (1, -1) => f(0) = f(1) + f(-1) <=> f(-1) = - f(1)
(x, y) = (1, y) => f(1 + y) = f(1) + f(y) <=>
f est donc linéaire de coefficient directeur f(1)
si y = 0 alors
donc pour tout x non nul f(-x) = - f(x)
et puisque f(0) = 0 = - 0 on en déduit que f est impaire
....
une erreur ... je corrige ::
(x, y) = (1, y) => f(1 + y) = f(1) + f(y) <=>
f est donc linéaire de coefficient directeur f(1)
cette relation est vraie pour tout y
soit f : R --> R telle que :
1/ f(0) = 0
2/ f(y + 1) = f(y) + f(1) pour tout y
3/ f est continue
montrer que f est linéaire (et que f(x) = f(1)x)
Si tu lis mon dernier message je t'ai donné une démonstration complète.
oui merci beacoup , mais ce que j'ai pas compris quand j'ai dérivé par rapport à y , je sais pas d'où conclure que f' est constante .
Commence déjà par écrire ce que vaut cette dérivée... alors ?
Oui, et ne vois-tu pas que ceci est valable pour tous ?
(La fonction prend la même valeur en tout point de
.)
Oui, et ne vois-tu pas que ceci est valable pour tous
(La fonction
Non , en fait quel est la variable x ou bien y ? parce que si c'est y , je vois pas pourquoi f' est constante peux tu m'expliquer un peu stp ?
Alors, tu as eu le temps de réfléchir ?
Soit fixé.
Pour tout nous avons
.
Ensuite tu reprends mon dernier message et tu essaye de te représenter graphiquement la situation.
une erreur ... je corrige ::
(x, y) = (1, y) => f(1 + y) = f(1) + f(y) <=>
f est donc linéaire de coefficient directeur f(1)
cette relation est vraie pour tout y
soit f : R --> R telle que :
1/ f(0) = 0
2/ f(y + 1) = f(y) + f(1) pour tout y
3/ f est continue
montrer que f est linéaire (et que f(x) = f(1)x)
salut , j'ai beau essayé , mais je sais pas d'où commencer mon raisonnement
oui la dérivabilité apporte la solution aisément ...
sans la dérivabilité (ce que je te propose) est plutôt (un classique) de niveau sup ....
Bon pour en finir avec ton problème de pourquoi est constante :
On a montré que pour tout et pour tout
:
.
Ainsi, pour tout , en prenant par exemple
, on a alors
.
Autrement dit, est constante égale à
sur
.
De même, pour tout , en prenant par exemple
, on a alors
.
C'est à dire que est constante égale à
sur
.
En conclusion, est constante sur
.
Bon pour en finir avec ton problème de pourquoi
On a montré que pour tout
Ainsi, pour tout
Autrement dit,
De même, pour tout
C'est à dire que
En conclusion,
Oui , Oui ,j'ai arrivé à démontrer ça , sans problèmes mais quand je calcule f'(0) je trouve que f'(0)=0 , alors f est constante et non pas linéaire
en dérivant la première relation par rapport à x
Tu ne peux pas juste trouver
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