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Trouver une formule

Posté par
youssml 20-12-21 à 11:16

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide sur une petite question s'il vous plait, merci.
La formule pour trouver l'aire d'un triangle équilatéral étant la suivante : √3 / 4 * a^2 (a étant un côté du triangle).
Ma question est la suivante : comment retrouve t -on cette formule à l'aide de la trigonométrie ?
Merci,

Posté par
heklare : Trouver une formule 20-12-21 à 11:19

Bonjour

Que vaut \sin 60 ?

Posté par
youssmlre : Trouver une formule 20-12-21 à 11:20

√3 / 2

Posté par
heklare : Trouver une formule 20-12-21 à 11:21

Oui, que vaut alors une hauteur ?

Posté par
youssmlre : Trouver une formule 20-12-21 à 11:22

euh, je sais pas trop, mais pourquoi il faut calculer sin 60 ?

Posté par
heklare : Trouver une formule 20-12-21 à 11:29

Aire d'un triangle est bien \dfrac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}

il vous faut donc la longueur de la hauteur, c'est bien le segment opposé à l'angle de 60°

Posté par
youssmlre : Trouver une formule 20-12-21 à 11:31

donc la hauteur vaut a, un côté du triangle

Posté par
heklare : Trouver une formule 20-12-21 à 11:36

Non  la hauteur est plus petite qu'un côté

Trouver une formule

Posté par
youssmlre : Trouver une formule 20-12-21 à 11:40

Mais pourquoi la hauteur vaut a*racine carré de 3 / 2 ?
Sinon, après je pense faudra faire le théorème de pythagore ?

Posté par
heklare : Trouver une formule 20-12-21 à 11:47

Dans le triangle BAI   rectangle en I  on a

   \sin 60°=\dfrac{\text{AI}}{\text{AB}}  soit \text{AI}=\text{AB}\sin 60°

Or \sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2} donc \text{AI}=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}

L'aire du triangle ABC est donc \dfrac{a\times a\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}


d'où le résultat \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}


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