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Trouver une limite de suite non récurrente?
Bonjour j'ai un DM à faire et il y a quelques questions qui me tracassent:
- Tout d'abord toute première question (qui est sur 0,25 dans l'exo de bac donc qui doit vraiment être facile mais j'sais pa je dois être bête! lol)
Démontrer que pour tout n de N(étoile), et tout x de [0,1]:
(1/n) - (x/n²) 
1/(x+n)
J'ai tout essayé mais ça ne mène à rien notamment en partant de 0 x
-Ensuite, plus difficile, ils donnent 2 suites:
U(n) = 1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n - ln(n)
V(n) = 1 + 1/2 + 1/3 ... + 1/n - ln(n+1)
Il a été démontré que ces suite étaient adjacentes et convergeaient donc vers une limite commune, mais comment trouver cette limite sachant qu'on ne peut pas utiliser le théorème donnant F(L) = L avec L la limite, comme ce ne sont pas des suites récurrentes.
-Et dernièrement même type de question pour un autre exercice:
Soit la suite un = (de 0 à 2)
[[(2t+3)/(t+2)]e(t/n)]dt
Il a été démontré que:
(3/2)n(e(2/n)-1) un (7/4)n(e(2/n)-1)
Si (un) possède une limite L: 3 L 7/2
L'intégrale (que l'on notera I) (de 0 à 2)[(2t+3)/(t+2)]dt est égale à 4 - ln2
Et enfin que I ) un ) e(2/n)I
Ils demandent de montrer que (un) est convergente et de déterminer sa limite L, même problème que pour l'exercice précédent.
Merci d'avance pour vos réponses.
bonjour immortal,
Pour ton encadrement, (1/n) - (x/n²)1/(x+n):
comme x+n
0, l'inégalité est équivalente à:
(x+n)/n-((x+n)n/n²1
or (x+n)/n-((x+n)n)/n²=(n²-x²)/n² , comme x
[0,1], on a l'encadrement de x : 0x1,et que n1 , on peut conclure.(nx).
Pour la limite de Un et Vn, c'est la constante d'Euler qui vaut environ 2,732 , donc je ne pense pas que l'on te demande de la trouver en term. pour plus d'infos, ti peux faire une recherche sur le site.
je regarde la suite.
Merci beaucoup jeroM pour ta réponse.
Pourtant j'ai bien eu cet exercice à faire et il doit y avoir moyen de trouver la limite des suites sans connaître la constante d'Euler. Ils mettent de trouver la limite "par la méthode de votre choix"... je ne vois vraiment pas comment c'est possible...
j'ai vérifié, la suite Un converge vers la constante d'Euler (dont une valeur approchée est en fait 0,5772156649... erreur de ma part dans mon premier message) .
Peux-tu préciser la question de l'énoncé qui te demande de déterminer cette limite?
pour le reste, Je n'ai pas saisi ce que signifie: "Et enfin que I ) un ) e(2/n)I" à la 4ème ligne en partant de la fin de ton message initial.
OK j'ai trouvé cet exo dans un livre. On a :
IUne(t/2)*I
Avec le théorème d'encadrement des suites, si VnUnWn et si lim Vn = lim Wn = L , alors lim Un = L.
comme lim I=I et que lim e(2/n)*I=I (e(2/n) tend vers 1 quand n tend vers l'infini) on a bien le résultat lim Un = I = 4 - ln 2.
lol merci! finalement j'avais quand même réussi à trouver pour le théorème des gendarmes (dernière question), mais c'est vraiment les deux suites Un et Vn qui me posent problème, tu n'as pa trouvé la limite commune?
Je mets l'énoncé en entier avec ce qui a été démontré:
On a:
(1/n) - (x/n²) 1/(x+n) 1/n
Par intégration on a donc:
(1/n) - (1/2n²) ln[(n+1)/n] 1/n
On se sert de ça pour démontrer que les suites Un et Vn sont adjacentes (qu'elles convergent donc vers une limite commune).
Ils demandent ensuite texto:
"Déterminer une valeur approchée de la limite gamma à 10^-2 près par la méthode de votre choix"
Vu que ça m'a l'air totalement impossible je me suis demandé s'il ne fallait pas simplement, avec la calculatrice, prendre n très grand et arriver à encadrer la limite "à peu près" mais ça ne semble pas très rigoureux, et pour rédiger...
Je dois sortir, mais je poste avant.
c'est clair: on demande une valeur approchée à 10^-2 de cette limite et pas la limite elle-même.
cette limite est la constante d'Euler dont on ne connaît pas grand chose(fais une recherche sur ce site avec "constante euler" comme mot-clé)
Ce que l'on te demande est de majoré l'écart entre Un et Vn (on sait que VnUn ,sauf erreur). cet écart est de ln(n/(n+1)).
On cherche l'entier n0 tel que ln(n/(n+1))10^-2.
Alors on peut calculer une valeur approchée de la limite en calculant Un0 ou Vn0.
Voila quelques idées.
héhé ça y est j'ai compris comment résoudre le truc merci, je vais réessayer et je te dirai si j'ai réussi.
à+ et encore merci.
euh en fait je n'ai pas réussi...
en admettant qu'il faille résoudre l'inégalité:
ln(n/(n+1)) 10^-2
On trouve un entier n, mais en quoi ça nous renseigne sur la limite???
En plus l'inégalité est difficilement résolvable, j'ai trouvé n0 = 100 à peu près mais bon c'est une approximation...
Tu as réussi à trouver la limite toi? 
en plus ce ne serait pas plutôt
ln((n+1)/n) 10^-2 qu'il faut résoudre?
Vu que ln(n/(n+1)) est nécessairement négatif...
Aide moi stp je suis vraiment paumé.
Tu as raison: on a bien Vn - Un = ln((n+1)/n)= ln (1+(1/n)) ,sinon l'écart entre Vn et Un est négatif, ce qui est gênant. Mon erreur vient du fait que je n'ai pas voulu prendre le temps d'écrire les choses (honte à moi!).
Donc on doit résoudre l'inéquation d'inconnue n :
ln (1+(1/n))10^-2
On trouve bien n0 = 100, comme tu l'as dit.
Il suffit maintenant de calculer V100 (terme de la suite Vn de rang 100) ou U100 (idem avec Un).
V100=1+1/2+1/3+...+1/100-ln(101)
Ce qui est compliqué est de calculer la somme des 1/n, il faut programmer ta calculatrice, le résultat est 5,187 377 518... (je mets tous les chiffres significatifs affichés).
De plus, ln(101)=4,615 120 517...
d'où V100= 0,57 à 10^-2 près ce qui est la valeur approchée de la constante d'Euler, connue par ailleurs.
Il est impossible de connaître une meilleure valeur de cette limite, on peut calculer plus de décimales seulement.
Cette constante est encore mystérieuse: on ne sait pas si elle peut s'écrire sous forme de fraction ou si elle est solution d'une équation simple.
Cherche des infos sur ce forum, un des correcteurs adore cette constante.
Je dois partir quelques jours. Si tu as d'autres questions, n'hésite pas, mais je ne rentre que vendredi.
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