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TS Congruences

Posté par giromon (invité) 27-11-05 à 18:05

Comment démontrer ,sans récurrence, que , pour tout entier n non nul, 9^n est congru à 9 modulo 12.Merci

Posté par
kaiser Moderateur
re : TS Congruences 27-11-05 à 18:21

Bonsoir giromon

Tout d'abord, comme n est non nul, alors 3 divise 9n, donc 3 divise 9n-9.

9^{n}-9=(9^{n}-1)-8=(9-1)(1+9+\dots+9^{n-1})-8=8(9+\dots+9^{n-1})
Donc 8 divise 9^{n}-9, donc 4 aussi.
Or 4 et 3 sont premiers entre eux, donc 12 divise 9n-9, c'est-à-dire que 9n9 [12].

Remarque : au début, j'ai utilisé la factorisation de a^{n}-b^{n} avec a=9 et b=1

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : TS Congruences 27-11-05 à 18:22

désolé, y'a eu un bug. Il faut remplacer les "\dots" par "..."

Posté par
sebmusik
re : TS Congruences 27-11-05 à 18:23

remarquable demo de kaiser...

Seb

Posté par
kaiser Moderateur
re : TS Congruences 27-11-05 à 18:24

Merci beaucoup sebmusik

Posté par
sebmusik
re : TS Congruences 27-11-05 à 18:25



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