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Niveau terminale
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TS - Exponentielle

Posté par
Yooky
08-03-19 à 22:49

Bonsoir, voici mon problème ^^ :

Soit M un point quelconque de la courbe représentative de la fonction exponentielle. Déterminer l'abscisse du
point M telle que la distance entre M et la droite d'équation y = x soit minimale.

Pour cela j'avais pensé à utiliser une tangente mais ce n'est pas très concluant :
M(x;y)€ C_e avec C_e la courbe représentative de la fonction exponentielle.
C_e admet une asymptote horizontale H:y=0 puisque lim (x→-infini)=0

De plus, pour M_1(0;1) car e^0=1, on obtient
T:y_M_1=(e^x)x+e^x l'équation de la tangente ...

Mon idée serait de trouver une tangente parallèle à la courbe y=x donc un coefficient de 1. Pour cela, il faudrait en + montrer que la fonction exponentielle "monte" plus vite que y=x pour dire que l'écart est de plus en plus grand sur x→+infini.

Merci pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : TS - Exponentielle 08-03-19 à 22:52

Bonsoir, où vois-tu une tangente ? je ne comprends pas.

Prends simplement un point courant de la courbe (donc M(x ; ex)) calcule la distance de ce point à la droite y = x et trouve le minimum de cette fonction.

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 08-03-19 à 23:59

Une fonction qui pourrait calculer la distance entre deux points de deux courbes distinctes pourquoi pas mais on obtiendrait ceci :
M(x;e^x) et un point N qui appartient à la courbe y=x / N(x,x)
MN=racine carrée de ((x-e^x)²+(x-x)²) = racine carrée de (x²-2xe^x+e^(2x))
L'expression de cette fonction notée l(x) serait donc :
l(x)=x²-2xe^x+e^(2x)

Or ici M et N ont la même abscisse, la distance minimale entre deux points de ces deux courbes n'est pas forcément verticale, si ce serait le cas, comment démontrer qu'une distance "oblique" ne serait pas la distance minimale ?

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 00:10

Pour moi je partirais d'un vecteur normal de la courbe à y=x et ainsi mesurer la plus petite distance avec la fonction exponentielle mais comment ^^' ?

Posté par
naghmouch
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 07:52

Bonjour.
  
  l(x)  =  racine  (  x  -  ex )²   =  I x  - ex I  =  ex  -  x

Posté par
Glapion Moderateur
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 11:13

Si tu connais la formule qui donne la distance d'un point à une droite, tu vas gagner du temps :

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 11:48

et si on connait la réponse alors le pb est fini ...

on est en terminale ...

et on a tous les outils (depuis le collège : distance de deux points) pour résoudre ce pb sans difficulté en terminale ...

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:02

J'ai peur que ça touche le hors programme mais bon j'essaye ^^ :

Soit M(x;e^x) un point de la courbe fonction exponentielle (notée C_2) et N(x',x') un point appartenant à y=x (sa courbe sera notée C_1).
Dans le plan, C_1:y=x=1x+0 donc sous la forme mx+p : m=1 et p=0

Alors d(M,N) la distance entre M et N s'écrit = (|y_M-mx_A-p|) / (racine carrée de (1+m²) ) = (|e^x - x|)/racine carrée de 2
= ((racine carrée de 2)|e^x - x|)/2

Cette distance est strictement positive sur IR, cependant comment trouver le minimum ? (on demande juste l'abscisse de M mais je pense qu'on peut chercher cette distance)

Merci

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:07

si M(x, e^x) et P(y, y) sont des points de la courbe de exp et de la droite D d'équation y = x alors MP^2 = (x - y)^2 + (e^x - y)^2

alors :

1/ on montre que MP est minimale lorsque P est le projeté orthogonal de M sur D (théorème de Pythagore)

2/ on détermine les coordonnées de P en fonction de x

3/ on cherche alors le minimum de MP

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:10

travailler avec les carrés des distances évite de se trainer des racines carrées et des valeurs absolues ...

surtout quand on sait que la fonction racine carrée est croissante sur R+ et donc conserve le sens de variation :

si u est une fonction positive alors \sqrt u $ et $ u ont même sens de variation ...

Posté par
alb12
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:10

salut,

Glapion @ 08-03-2019 à 22:52

Prends simplement un point courant de la courbe (donc M(x ; ex)) calcule la distance de ce point à la droite y = x et trouve le minimum de cette fonction.

Est-il prouve que la "distance" entre les 2 courbes est obtenue pour 2 points situes sur une perpendiculaire à la droite d'equation y=x ?

Posté par
alb12
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:19

en admettant que ce soit le cas,
alors la distance cherchee est la moitie de la distance entre (x,e^x) et (e^x,x)
(2 points symetriques par rapport à la premiere bissectrice)

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:33

pour tout point A de la courbe de exp la distance AB est minimale lorsque B = C (projeté orthogonal de A sur C

TS - Exponentielle

reste alors à cherche la position de A ...

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 12:38

Merci pour vos réponses,

Mais comment démontrer que le projeté orthogonal soit la valeur minimale ^^' ?

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 13:15

carpediem @ 09-03-2019 à 12:07

si M(x, e^x) et P(y, y) sont des points de la courbe de exp et de la droite D d'équation y = x alors MP^2 = (x - y)^2 + (e^x - y)^2

alors :

1/ on montre que MP est minimale lorsque P est le projeté orthogonal de M sur D (théorème de Pythagore)

2/ on détermine les coordonnées de P en fonction de x

3/ on cherche alors le minimum de MP

Posté par
alb12
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 14:50

MP^2 est une fonction de 2 variables
A priori rien ne permet d'affirmer que son minimum est obtenu en fixant M et en cherchant le minimum de MP^2 avec P variable.

Posté par
carpediem
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 15:33

au départ on se fixe M = A (sur ggb) et alors :

pour tout A fixe sur la courbe Ce de exp le minimum est la "distance orthogonale" AC

maintenant supposons qu'il existe A' sur Ce tel que A'C < AC alors en prenant le projeté orthogonal C' de A' on aura bien sur A'C' < A'C < AC

donc la distance (D, Ce) entre les deux courbes est le minimum des minima soit le minimum des distances orthogonales

Posté par
veleda
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 16:25

bonjour,
on peut remarquer que pour tout x  réel non nul ex-x-1>0 la courbe est au dessus de sa tangente  en A(0,1) tangente  // à la  droite d'équation y=x

Posté par
alb12
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 16:42

en effet c'est tres rapide ainsi.

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 17:29

C est sur quoi je voulais partir au début ^^

La tangente en M(0;1) est T:y=f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+1=1x+1

Même coefficient directeur que y=x donc la distance d entre le projeté projeté orthogonal de M sur la droite y=x noté P, et M, est minimale en M(0,1)

Y a t il d'autres justifications à mettre ?

Posté par
alb12
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 17:38

On te doit des excuses.
Ton idee etait excellente !

Posté par
Yooky
re : TS - Exponentielle 09-03-19 à 17:41

Lol x), merci à vous !



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