Bonsoir, où vois-tu une tangente ? je ne comprends pas.

Prends simplement un point courant de la courbe (donc M(x ; e^x)) calcule la distance de ce point à la droite y = x et trouve le minimum de cette fonction.

Une fonction qui pourrait calculer la distance entre deux points de deux courbes distinctes pourquoi pas mais on obtiendrait ceci :
M(x;e^x) et un point N qui appartient à la courbe y=x / N(x,x)
MN=racine carrée de ((x-e^x)²+(x-x)²) = racine carrée de (x²-2xe^x+e^(2x))
L'expression de cette fonction notée l(x) serait donc :
l(x)=x²-2xe^x+e^(2x)

Or ici M et N ont la même abscisse, la distance minimale entre deux points de ces deux courbes n'est pas forcément verticale, si ce serait le cas, comment démontrer qu'une distance "oblique" ne serait pas la distance minimale ?

Pour moi je partirais d'un vecteur normal de la courbe à y=x et ainsi mesurer la plus petite distance avec la fonction exponentielle mais comment ^^' ?

Bonjour.
  
  l(x)  =  racine  (  x  -  e^x )²   =  I x  - e^x I  =  e^x  -  x

Si tu connais la formule qui donne la distance d'un point à une droite, tu vas gagner du temps :

et si on connait la réponse alors le pb est fini ...

on est en terminale ...

et on a tous les outils (depuis le collège : distance de deux points) pour résoudre ce pb sans difficulté en terminale ...

J'ai peur que ça touche le hors programme mais bon j'essaye ^^ :

Soit M(x;e^x) un point de la courbe fonction exponentielle (notée C_2) et N(x',x') un point appartenant à y=x (sa courbe sera notée C_1).
Dans le plan, C_1:y=x=1x+0 donc sous la forme mx+p : m=1 et p=0

Alors d(M,N) la distance entre M et N s'écrit = (|y_M-mx_A-p|) / (racine carrée de (1+m²) ) = (|e^x - x|)/racine carrée de 2
= ((racine carrée de 2)|e^x - x|)/2

Cette distance est strictement positive sur IR, cependant comment trouver le minimum ? (on demande juste l'abscisse de M mais je pense qu'on peut chercher cette distance)

Merci

si M(x, e^x) et P(y, y) sont des points de la courbe de exp et de la droite D d'équation y = x alors

alors :

1/ on montre que MP est minimale lorsque P est le projeté orthogonal de M sur D (théorème de Pythagore)

2/ on détermine les coordonnées de P en fonction de x

3/ on cherche alors le minimum de MP

travailler avec les carrés des distances évite de se trainer des racines carrées et des valeurs absolues ...

surtout quand on sait que la fonction racine carrée est croissante sur R+ et donc conserve le sens de variation :

si u est une fonction positive alors ont même sens de variation ...

salut,

en admettant que ce soit le cas,
alors la distance cherchee est la moitie de la distance entre (x,e^x) et (e^x,x)
(2 points symetriques par rapport à la premiere bissectrice)

pour tout point A de la courbe de exp la distance AB est minimale lorsque B = C (projeté orthogonal de A sur C



reste alors à cherche la position de A ...

Merci pour vos réponses,

Mais comment démontrer que le projeté orthogonal soit la valeur minimale ^^' ?

MP^2 est une fonction de 2 variables
A priori rien ne permet d'affirmer que son minimum est obtenu en fixant M et en cherchant le minimum de MP^2 avec P variable.

au départ on se fixe M = A (sur ggb) et alors :

pour tout A fixe sur la courbe Ce de exp le minimum est la "distance orthogonale" AC

maintenant supposons qu'il existe A' sur Ce tel que A'C < AC alors en prenant le projeté orthogonal C' de A' on aura bien sur A'C' < A'C < AC

donc la distance (D, Ce) entre les deux courbes est le minimum des minima soit le minimum des distances orthogonales

bonjour,
on peut remarquer que pour tout x  réel non nul e^x-x-1>0 la courbe est au dessus de sa tangente  en A(0,1) tangente  // à la  droite d'équation y=x

en effet c'est tres rapide ainsi.

C est sur quoi je voulais partir au début ^^

La tangente en M(0;1) est T:y=f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+1=1x+1

Même coefficient directeur que y=x donc la distance d entre le projeté projeté orthogonal de M sur la droite y=x noté P, et M, est minimale en M(0,1)

Y a t il d'autres justifications à mettre ?

On te doit des excuses.
Ton idee etait excellente !

Lol x), merci à vous !