Inscription / Connexion Nouveau Sujet
TS spécialité exercice dans N
salut.
j'ai besoin de vos indications pour cet exercie svp. merci.
on appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'ecrire sous la forme 9+a², où a est un entier naturel non nul. Par exemple 10=9+1² ; 13=9+2² ; ...On se propose dans cet exercice d'etudier l'existence d'elements de (E) qui sont des puissances de 2,3 et 5.
1- Etude de l'equation d'inconnue a, a²+9=2n où a et n appartiennent à 
et n
4
a- montrer que si a existe, a est impair.
b- en raisonnant modulo 4, montrer que l'equation proposee n'a pas de solution.
2- Etude de l'equation d'inconnue a, a²+9=3n où a et n appartiennent à et n3
a- monter que si n3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b- montrer que si a existe, il est pair et en deuidre que necessairement n est pair.
c- on pose n=2p, où p est un entier naturel, p2. deduire d'une factorisation de 3n-a² que l'equation proposee n'a pas de solution.
merci a vous et bon dimanche.
bonjour
1)a)
2^n est un nombre pair
donc 2^n-9 est un nombre impair
donc a²=2^n-9 est un nombre impair
supposons a pair a=2k a²=2*(2k²) a² est donc pair
supposons a impair a=2k+1, a²=2(2k²+2k)+1 donc a² est impair
donc si a² est impair alors a est impair
b)
a²=2^n-9
a²=2^n-1 [4]
=1+2+2^2+2^3+....2^(n-1)-1 [4]
=2+2^2+.....2^(n-1) [4]
=2(1+2^1+....+2^(n-2)
donc a² est pair donc a²=2k+4u ie a² est pair
contradiction avec le fait que a² est impair
bonjoir
soit Pn la proposition 3^(2n)=1 mod 4
3^0=1 [4]
P0 est vraie
Supposons Pn vraie et montrons Pn+1
3^[2(n+1)]=3^(2n)*3^2=1*9 [4]
=1 [4]
tu montre de la meme maniere que 3^(2n+1)=3 [4]
Soit Pn la proposition 3^(2n+1)=3 [4]
3^(0*2+1)=3 [4]
P0 est vraie
Supposons Pn vraie et montrons Pn+1
3^[2(n+1)+1]=3^(2n+1)*3^2=3*9 [4]
=3 [4]
la propriete Pn est hereditaire et P0 est vraie, la propriete Pn est donc vraie pour tout n dans IN
b) montrer que si a existe, il est pair et en deuidre que necessairement n est pair.
Supposons que a existe
a²=3^n-9
si n est pair a=1-1 [4] donc a²=0 [4] et donc a² est pair et donc a est pair
si n est impair a=3-1 [4], donc a²=2 [4] et donc a² est pair donc a est pair
( je vois pas pourquoi n devrais etre pair....)
c)n pose n=2p, où p est un entier naturel, . deduire d'une factorisation de 3^n-a² que l'equation proposee n'a pas de solution.
3^(2p)-a²=[3^p]²-a²=(3^p-a)*(3^p+a)=9
donc soit [3^p-a=3 et 3^p+a=3] =>p=1 a=0 (a>0 donc a rejetter)
soit [3^p-a=9 et 3^p+a=1] =>a=-4 a rejeter aussi
soit [3^p-a=1 et 3^p+a=9] =>p n est pas entier a=4 ( a rejetter)
l equation a donc pas de solution
Annuler
connectez vous