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TS-->suites
Salut!
J'ai un exercice sur les suites à faire mais j'aurais besoin de vous...
le voici :
est la suite definie par
et pour tout entier naturel n,
1- calculer .
2- on note f la fonction definie sur R par
a) etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
on derive,
on fait un tableau de signes
puis on en deduit les variations de f :
f croissante sur ]-inf;3]
f decroissante sur [3;+inf[
b) demontrer que si x appartient a l'intervalle [0;3], alors f(x) appartient a l'intervalle [0;3].
f est croissante sur [0;3].
f(0)=0
f(3)=3
donc on arrive bien a ce qui est demandé.
3- deduire de ce la question precedente que :
a) la suite est majorée par 3.
b) la suite est croissante.
4- demontrer que la suite est convergente et determiner sa limite.
(je supoose que sa limite est 3)
donc voila j'ai besoin de vous pour les questions 3 et 4.
Seb 
3) a)
et
donc
.
On sait que pour tout x [0;3] on a f(x)
[0;3].
Pour prouver que la suite ( ) est majorée par 3 il faut prouver que tous les
[0;3]. Utilisez une récurrence:
Si
[0;3] est-ce qu'alors
[0;3]? Si oui il suffit de trouver 1 terme
dans l'intervalle [o;3] et par suite le suivant sera aussi dans [0;3] puis le suivant du suivant etc... et tous seront ainsi dans [0;3].
3) b)
Calculez
-
en fonction de
.
Conseil:
Réduisez au même dénominateur 3 et factorisez votre numérateur.
Pourquoi cela? 
Parce que vous cherchez le signe de -
et que c'est fortement conseillé d'étudier les signes des expressions sous leur forme produit et quotient, plutôt que de chercher leur signe sous une forme somme ou différence.
Le nombre 3 est positif et chacun de vos deux facteurs est positif donc...
4) On utilise un théorème fondamental vu en cours:
"Suite croissante majorée...."
Si est la limite on sait que
vérifie
=f(
).
Résolvez cette équation et vous trouverez la valeur de
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