On considère la suite Un définie pour n>0 par Un=1+½+1/3+…+1/n

1) Calculer les valeurs exactes puis les valeurs approchées de U1, U2, U3, U4.
Le problème n'est pas là et j'ai bien entendu réussi à calculer ces qqs valeurs

2) a- Quel est le nombre de termes de U(2n)-U(n)? Quel est le plus petit termes de cette somme?
Alors U(2n)-U(n)= 1/(n+1) +…+1/2n), il y ainsi n termes dont le plus petit est : 1/(n+1)

b- En déduire que U(2n)>(ou égal ) à 1 / 2 +U(n)
Alors, il y a n termes dont le plus petit est : 1/(n+1) , cette différence est donc supérieure à n/(n+1) qui est lui même supérieur à 1 / 2 pour  n >0
Ainsi, on a bien  U(2n)>(ou égal ) à 1 / 2 +U(n), n'est-ce pas?

c- démontrer par récurrence sur k que, pour tout entier naturel k, il existe n tel que U(n)>(ou égal) k
On pose P(n) la proposition : pour tout entier naturel k, il existe n tel que U(n)>(ou égal) k
Initialisation: pour k = 0, on a u0=1 qui est supérieur à k

Transmissibilité: on suppose que pour un n donné P(n) est vraie:
U(n)>(ou égal) k
U(n)+1>(ou égal) k+1
d'après la question b, U(2n)>(ou égal ) à 1 / 2 +U(n), donc U(4n)>(ou égal ) à 1  +U(n) et U(4n) >k+1
Donc P(n) est transmissible, non?

Conclusion : P(0) est vraie et P est transmissible dc P est vraie pour tout n

d- Quelle est la limite de U(n)?
d'après la question c, il existe n telle que la suite soit plus grande que k pour tout k aussi grand soit-il, la limite de la suite est donc +oo, non?

3) Pour x>0, démontrer les inégalités suivantes ln (1+x)<(ou égal)x  et x/(1+x) <(ou égal) ln (1+x)
En étudiant le signe de la différence (on pose une fonction que l'on dérive), j'ai réussi mais je ne vous réécris pas tout!

4) En déduire que pour k>0 1/(k+1)<(ou égal)ln (1+k) <(ou égal)1/k
Il suffit de remplacer x par 1/k, n'est-ce pas?

5) A l'aide d'une sommation portant sur (1), prouver que pour n>0, U(n+1)-1<(ou égal) ln (n+1)<(ou égal) U(n) et en déduire que pour n>0 ln (n+1)<(ou égal)U(n) <(ou égal) ln (n)

Alors, là, je ne vois pas du tout comment m'y prendre donc si jamais vous aviez une idée…

Quelle est la limite de la suite U(n)? c'est +oo, comme dans la question 2)c- mais je ne vois pas pourquoi!!

6) On considère la suite C(n) définie pour n>1 par C(n)= U (n-1) - ln (n)
Calculer C(n+1)-C(n), en déduire le sens de variation de (Cn)

Je trouve  pour la différence: -1/n - ln (n+1) +ln (n) mais je n'arrive pas à trouver le signe…

7) Montrer que pour n>1, c(n)<1+ln (n-1)-ln (n), il suffit d'utiliser le résultat de la question 5 et j'y arrive!

8) En déduire que la suite C(n) est convergente.   Croissante et majorée donc convergente!

Calculer une valeur approchée de C(300) à la calculette, en indiquant la méthode utilisée!
Le problème c'est que C(n) n'est définie ni explicitement ni par récurrence!!

Merci d'avance pour votre aide!