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TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26

Posté par
Naje 18-09-19 à 14:56

Bonjour,
Cela fait maintenant près de 2 jours que je bloque sur cette exercice que notre prof nous a donné à faire :
(un) est la suite définie sur N* par :
un=[1×3×5×...×(2n-1)]/[2×4×6×...×(2n)]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un<1/racine(3n+1)
Voila l'exercice, donc pour l'instant j'ai fait l'initialisation, et jen suis à l'hérédité où il faut qu'on démontre que (Pn+1) est vraie.
Merci d'avance et bonne journée !

Posté par
NajeSuites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 15:21

Salut !
Cela fait maintenant deux jours que je bloque sur cet exercice que mon prof de maths m'a donné. Si vous pouviez m'aider svp...
--------------------
(un) est la suite définie sur N* par :

un=\frac{1×3×5×...×(2n-1)}{2×4×6×...(2n)}

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

un \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}{}
--------------------
Pour l'instant, je n'ai fait que l'initialisation, et commencé l'hérédité en disant "Supposons que (Pn) est vraie etc" et je me suis arrêté à "Démontrer que (Pn+1) est aussi vraie, c'est à dire que un=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}{}".
Voilà ! J'espère que vous allez pouvoir m'aidez au plus vite et encore merci d'avance !

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 15:25

tu ne peux pas dire que tu ne savais pas, c'est écrit en assez gros

TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q19 - Que faire en attendant une éventuelle réponse ?


attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q23 - J'ai respecté à la lettre toutes les consignes, et pourtant ma question n'a pas obtenu de réponse. Que faire ?


attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 16:36

Bonjour,
J'ai attendu la fin de ton avertissement pour répondre.
Tu as sans doute noté \; Pn \; l'inégalité \; un 1/(3n+1) .

Oublie ceci qui est faux :

Citation :
"Démontrer que (Pn+1) est aussi vraie, c'est à dire que un=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}{}".
Et écris correctement ce qu'est \; Pn+1 .

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 16:47

Désolé cest juste moi qui ai fait une faute de frappe, j'ai bel et bien fait

un+1=\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}{}

Donc après je dois faire quoi parce que j'ai essayé différentes technique et rien marche... J'ai essayé aussi :

un+1=\frac{1×3×5×...×(2n-1)×(2(n+1)-1)}{2×4×6×...×(2n)×(2(n+1))}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 16:53

Pn+1 est une inégalité.

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 16:57

Ah oui excusez moi je suis étourdi c'est avec le signe "\leq"  au lieu du signe "="

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:11

Bon.

Avant de se lancer dans l'hérédité, il faut savoir écrire une relation entre \; un+1 \; et \; un . Je note (1) cette relation.
Ensuite partir de \; un 1/(3n+1) \; , et utiliser \; (1) \; pour trouver une inégalité sur \; un+1 \; .

Commence par chercher la relation (1).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:12

Utilise ce que tu as écris :

Citation :
un+1=\frac{1×3×5×...×(2n-1)×(2(n+1)-1)}{2×4×6×...×(2n)×(2(n+1))}

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:17

On peut dire que :
un+1=un×\frac{(2n+1)}{(2n+2)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:21

Bien, ça avance
Lance toi dans l'hérédité.
Si tu n'aboutis pas, poste le début.

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:23

Ça marche merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:48

J'ai un doute car ça n'est pas si facile.

Tu dois tomber sur \; u_{n+1} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}\times \dfrac{2n+1}{2n+2}

Comment en déduis-tu \; u_{n+1} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+4}} ?

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 17:53

Excusez moi mais je n'arrive toujours pas à conclure, si vous pouviez m'éclaircir davantage....

Hérédité : Supposons que (Pn) est vraie, càd que un<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}{} (que je nomme (E)). Demontrons alors que (Pn+1) est vraie, càd que un+1<\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}{}. Alors :

          un<(E)

<=> un×\frac{2n+1}{2n+2}<(E)× \frac{2n+1}{2n+2}

<=> un+1<\frac{2n+1}{\sqrt{3n+1}×2×(n+1)}{} (qu'on peut nommer (I))
Voilà!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 18:06

Il te reste à démontrer \; \dfrac{2n+1}{\sqrt{3n+1}×2×(n+1)}{} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+4}}

Équivalent à (2n+1)\sqrt{3n+4} \leq 2(n+1)\sqrt{3n+1}

Élève au carré et fait la différence "droite - gauche" en espérant que ce sera positif.

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 18:24

J'ai élevé au carré et soustrait les membres, et je tombe sur :

6n2+9n 0

C'est la bon résultat ??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 18:39

Non.
C'est encore plus simple.

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 18:49

Je ne vois pas comment cela peut être plus simple

Posté par
vhamre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 18:58

Bonjour,

il faut développer à gauche et à droite sans faire d'erreur puis simplifier
restent que des termes en n de chaque coté
Salutations Sylvieg

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 19:07

Oui il reste a la fin :
22n2+11n<28n2+20n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 19:15

(2(n+1)\sqrt{3n+1})^2 = 12n^3+28n^2+20n+4

((2n+1)\sqrt{3n+4})^2 = 12n^3+28n^2+19n+4

Salutations vham

Posté par
vhamre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 19:16

Citation :
Oui il reste a la fin :
22n2+11n<28n2+20n   NON

Posté par
Najere : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 19:18

Ok merci de votre aide! Je tâcherai de faire moins d'erreurs d'etourderis la prochaine fois !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : TS - Suites et récurrence - exo 73 p.26 18-09-19 à 19:20

Et moins de multi post !


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