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Ts suites et récurrences.. merci de m aider
Bonjour,
Cet exercice me pose problème..
Voici l'énoncé:
On définit la suite (Un) n supérieur ou égal a 0 par son premier terme
U0=3 et par la relation:
U(n+1)= Un + 2 X (-1/10)^(n+1)
1) calculer les premiers termes de la suite et énoncer une conjecture
sur l'écriture décimale des termes de la suite (Un) en distinguant
les cas n pari et n impair
alors là, donc je trouve :
u0=3
u1= 2.8
U2=2.82
U3= 2.818
U4=2.8182
U5= 2.81818
Conjecture: Dans le cas n pair, l'écriture décimale est 2.818181...8182
Dans le cas impair: 2.81818...18
2) Pour tout entier n, écrire Un sous la forme de la somme du nombre
1 et d'une autre expression Sn, que l'on détaillera. On
reconnaitra dans cette autre expression Sn la somme des (n+1) premiers
termes dune suite géométrique dont on précisera le premier terme
et la raison.
Donc je trouve Un = 1 + Sn (d'après l'énoncé)
et je bloque.. j'ai bien compris que Sn= V0 X (1-q^n)/(1-q)
puisque c'est une suite géométrique et que la raison sera -1/10
Mais que vaut Vo ??
Donc je ne peux pas continuer la question 3)
Montrer que Un= 1 + 20/11 X (1 - (-1/10)^(n+1) ). Calculer la limite l de
la suite (Un). On trouvera un nombre rationnel. Calculer une valeur
approchée de ce nombre, et vérifier que son écriture décimale est
bien celle qui est attendue.
Là je ne vois pas qu'elle nombre on attend...
Merci
1)
Conjecture: Dans le cas n pair, l'écriture décimale est 2.818181...8182
Dans le cas impair: 2.81818...18
Et de plus, le nombre de chiffres derrière la virgule est n.
-------------
2)
u0=1 + 2
u1= 1 + 1.8
U2=1 + 1.82
U3= 1 + 1.818
U4= 1 + 1.8182
U5= 1 + 1.81818
s0= 2
s1= 1.8
s2= 1.82
s3= 1.818
s4= 1.8182
s5= 1.81818
S(n) = V(0).(R^(n+1) - 1)/(R-1)
S(0) = V(0).(R-1)/(R-1) = V(0)
-> V(0) = S(0) = 2
S(1) = V(0) + V(0).R
1,8 = 2 + 2R
R = -0,1
-> S(n) = 2.((-0,1)^(n+1) - 1)/(-1,1)
S(n) = 2.( 1 - (-0,1)^(n+1))/(1,1)
Vérifions an calculant les premiers termes:
S(0) = 2.(1,1)/(1,1) = 2
S(1) = 2.(1 - (-0,1)²)/1,1 = 1,8
S(2) = 2.(1 - (-0,1)³)/1,1 = 1,82
S(3) = 2.(1 - (-0,1)^4)/1,1 = 1,818
S(4) = 2.(1 - (-0,1)^5)/1,1 = 1,8182
S(5) = 2.(1 - (-0,1)^6)/1,1 = 1,81818
-> OK
U(n) = 1 + [2.( 1 - (-0,1)^(n+1))/(1,1)]
U(n) = 1 + [20.( 1 - (-0,1)^(n+1))/(11)]
U(n) = 1 + (20/11)[( 1 - (-0,1)^(n+1))]
Comme |R| = 0,1 < 1, on a
lim(n->oo) (U(n)) = 1 + (20/11).[1 - 0] = 31/11
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