Le corrigé est très douteux dans la mesure où le paramètre d'une conique est toujours un réel strictement positif.

Le signe qui est surprenant, mais la valeur absolue est bonne : le paramètre d'une parabole est la distance du foyer à la directrice, et l'équation réduite est .
La rotation qui convient bien pour ramener à la forme réduite est donnée par .

C'est bien ce que je me disais. Merci de vos réponses. Ce qui m'inquiète c'est que pas mal d'exos du bouquin sont bourrés d'erreur de ce type. ( voir photo, j'ai juste pris le passage). Je connais pas très bien la méthode des matrices. Sans utiliser, j'avais pensé à 2 changements de repère ( X'=-X; Y=Y puis X''=X'+1/2, Y''=Y' ). Y-a-t-il un autre moyen pour trouver les paramètres de cette parabole ?

Il n'y a pas de "méthode des matrices". J'ai simplement écrit sous forme matricielle un changement de repère orthonormé (j'insiste bien sur orthonormé) qui fait passer de l'équation à l'équation réduite . Je me suis d'ailleurs trompé dans l'écriture, c'est en fait . C'est bien un changement de repère orthonormé puisque la matrice qui donne la partie linéaire du changement de coordonnées est orthogonale, précisément c'est la matrice de rotation d'angle . On obtient .
La parabole d'équation réduite a son sommet en , son axe est la droite , son foyer est en , sa directrice est la droite .
On peut utiliser le changement de coordonnées inverse pour décrire ces éléments dans les coordonnées . Je te laisse faire.