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U(n+1) = (Un)²
Bonjour,
Je suis entrain de faire des exos sur les récurrence et je dois démontrer ceci :
"La suite (Un) avec n appartenant à |N est définie par :
u0 appartenant aux |Réels, pour tout n on a U(n+1) = (Un)²
Conseils donnés :
Calculer Un en fonction de u0 et n.
On pourra commencer par écrire Un pour n valant 1, 2, 3, 4. De manière
générale, lorsqu'on souhaite calculer une quantité dépendant d'un entier n, il
est souvent utile de commencer par deviner le résultat en considérant les petites
valeurs de n."
Je sais que Un = U0 * q. Or je ne trouve pas la valeur de la raison q. J'ai essayé diverses choses et je n'aboutie jamais à une CONSTANTE pour q. Je n'arrive donc pas à exprimer Un en fonction de U0 et n car je ne trouve pas q.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider. Merci d'avance ! 
Bonjour,
Je sais que Un = U0 * q.
Suis les conseils de l'énoncé. Que trouves-tu pour U(1), pour U(2), pour U(3), pour U(4), pour U(5) en fonction de U(0) ?
Essaie alors de "deviner" pour U(n).
Puis démontre-le.
Ah d'accord j'ai compris mon erreur.
Je suis parti du principe que Un = U0 * q car je m'étais dit que c'était une suite géométrique.. Or ce n'est pas le cas.
U1 = U0+1 = (U0)²
U2 = (U1)² = ((U0)²)²
U3 = (U2)² = (((U0)²)²)²
U4 = (U3)² = ((((U0)²)²)²)²
On remarque que Un = (U0)²^n
Ca se démontre par récurrence
Initialisation
U1 = (U0)^(2^1) = (U0)² et U1 = U0²
Heredite
HR : Un = (U0)^(2^n)
Un+1 = (Un)² (énoncé)
= ((U0)²^n)² = Un^a (HR)
avec a = (2^n)*2 = 2^(n+1)
Conclusion
P1 est vraie et P est héréditaire : P est vraie.
MERCI
Oui errreur d'inatention ! en effet merci
Sur un autre topic quelqu'un a fait une autre méthode (très élégante). Je la reposte, ça peut toujours servir :
disdrometre
on pose Vn= ln(Un)
V(n+1) = ln(U(n+1)) = ln Un² = 2lnUn = 2 Vn
Vn est une suite géométrique de raison 2.
donc Vn = 2^n V0
V0= ln(U0)
or Un= exp(Vn) donc Un =exp(2^n ln(U0))
or 2^n ln(U0) = ln(U0^(2^n))
d'ou Un = U0^(2^n)
Lien : https://www.ilemaths.net/sujet-un-1-un-et-uo-7-8-trouver-un-182771.html
Je trouve qu'elle est compliquée inutilement cette méthode.
En plus , si U(0) , on ne peut pas écrire Vn = ln (Un) pour tout n
Wearefriends,
Tu as "trahi" celui qui avait proposé l'approche via le ln.
Dans l'énoncé du post où cela a été fait ainsi, l'énoncé précisait que Uo = 7/8
Il n'y avait alors pas de problème en passant par le voie Vn = ln(Un), car il était évident par U(n+1) = (Un)² que tous les Un étaient alors strictement positifs (y compris Uo puisque Uo = 7/8 était donné)
Il n'empêche qu'on peut facilement se passer du détour par le ln dans cet exercice.
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