Bonjour,
des entiers naturels,
quand est une somme de
trois carrés ?
Alain
salut
2 ( 23 - 13 ) = 12 + 22 + 32
solution triviale (en excluant le couple (0,0) .... mais est-ce la seule ....
juste une remarque et je pense que les modo ne m'en voudront pas : met plutôt ce genre de topic dans détente en précisant .... ce qu'il y a à préciser (même si c'est du niveau supérieur), le supérieur" étant plutôt réservé aux topics plus "scolaires" genre questions de DM ou d'exos ....
autre remarque triviale (certe....) :
si 2(x3 - y3) = a2 + b2 + c2 alors parmi a,b et c il y a un nombre pair d'impairs et passe .... la main au suivant
bonsoir veleda
et bien vu je n'ai absolument pas pensé à l'écrire comme ça ce 2e facteur : il suffisait de rentre ce 2
bonsoir
>>Carpediem
(intuition féminine) mais plus sérieusement est ce qu'en imposant x-y=1 on a bien toutes les décompositions possibles en somme de trois carrés?
il me semble que (kx, ky) ne convienne que si k est un carré puisque x-y doit lui-même être un carré donc on doit perdre des cas en ne considérant que x-y=1
....
Bonsoir veleda,
Il suffit de prendre mais ce n'est pas nécessaire.
Par exemple:
et donnent alors que .
bonjour jandri
effectivement je me posais la question : l'écriture donnée par veleda implique de prendre x - y = k2 pour avoir une réponse ...mais ce n'est pas nécessaire....
mezalor peut-on trouver une condition plus générale sur x et y permettant de conclure ?
bonjour jandri
pour avoir la décomposition: ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² il faut bien que(x-y) soit un carré non?
mais ton exemple montre qu'il y a d'autres décompositions et ma question est:sait-on toutes les trouver?
veleda,
ta phrase:
"pour avoir la décomposition: ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² il faut bien que(x-y) soit un carré"
est fausse d'un point de vue logique.
En effet elle sous-entend que A+B+C=A'+B'+C' entraine A=A', B=B' et C=C'
ce qui est évidemment faux.
>>Jandry
ce n'est pas ce que je voulais dire ,je voulais dire :avec A²=(x-y)(x+y)²,B²=(x-y)y²,C²=(x-y)x²
>>Veleda
bien sûr, si on veut l'égalité A²=(x-y)(x+y)² il faut que x-y soit un carré.
mais l'égalité ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² peut être vérifiée sans que x-y soit un carré (voir l'exemple que j'ai donné).
J'ai aussi un exemple avec x-y=2
.
Il est probable que l'on puisse trouver un exemple avec n'importe valeur strictement positive de x-y (je l'ai vérifié jusqu'à x-y=100).
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