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un chtit'exo sur les polynômes !

Posté par
kaiser Moderateur 19-03-07 à 12:45

Bonjour à tous

Je vous propose un exercice abordable au niveau sup.

Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré n dont les racines sont toutes de module strictement inférieur à 1 et \Large{\omega} un complexe de module 1.

On note \Large{\bar{P}} le polynôme de degré n dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P.

On pose \Large{Q=P(X)+\omega X^{n}\bar{P}(\frac{1}{X})}

Montrez que les racines de Q sont toutes de module 1.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 20:12

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : un chtit'exo sur les polynômes !. 19-03-07 à 20:19

Bonjour Kaiser ;
\fbox{*} Pour \red\fbox{u\neq z\in\mathbb{C}\\|u|<1} on a 2$\fbox{|1-\bar{u}z|^2-|u-z|^2=(1-\bar{u}z)(1-u\bar{z})-(u-z)(\bar{u}-\bar{z})=1-|u|^2-|z|^2+|u|^2|z|^2=(1-|u|^2)(1-|z|^2)}
ainsi on voit que 3$\blue\fbox{et\{{|z|<1\Longrightarrow|\frac{1-\bar{u}z}{u-z}|>1\\|z|>1\Longrightarrow|\frac{1-\bar{u}z}{u-z}|<1}.
\fbox{*} Notons 3$\fbox{P=a\bigprod_{k=1}^{n}(X-u_k)\\\hspace{5}avec\hspace{5}a\in\mathbb{C}^*\hspace{5}et\hspace{5}|u_1|,..,|u_n|<1} et remarquons que pour tout complexe z on a :
3$\fbox{Q(z)=0\Longrightarrow|a\bigprod_{k=1}^{n}(z-u_k)|=|\omega\bar{a}\bigprod_{k=1}^{n}(1-\bar{u_k}z)|} et comme 2$\fbox{|\omega|=1\\|a|=|\bar{a}|\neq0} on voit que ,
4$\fbox{Q(z)=0\Longrightarrow\bigprod_{k=1}^{n}|z-u_k|=\bigprod_{k=1}^{n}|1-\bar{u_k}z|}
Par ailleurs il est facile de voir qu'aucune des racines de P n'est racine de Q et on aboutit ainsi à
5$\fbox{Q(z)=0\Longrightarrow\bigprod_{k=1}^{n}|\frac{1-\bar{u_k}z}{u_k-z}|=1}
L'assertion encadrée en bleu montre alors qu'aucun des cas \fbox{|z|>1} et \fbox{|z|<1} n'est possible (sauf erreur bien entendu)

Posté par
raymond Correcteurre : un chtit'exo sur les polynômes !. 19-03-07 à 20:21

Bonsoir.

Bravo elhor_abdelali.
J'en étais arrivé au même point, mais il me manquait l'encadré bleu pour conclure.

A plus RR.

Posté par
kaiser Moderateurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 20:33

Bonsoir à tous

bravo elhor.
Il y a cependant un tout petit détail : pour le deuxième *, il me semble que l'on a pas tes 3 équivalences mais uniquement des implications.
Cela dit, ça ne change en rien la démonstration.

Kaiser

Posté par
vincprofre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 20:40

très belle solution!

Par contre, comment t'es venue l'idée de montrer ca :2$\fbox{|1-\bar{u}z|^2-|u-z|^2=(1-\bar{u}z)(1-u\bar{z})-(u-z)(\bar{u}-\bar{z})=1-|u|^2-|z|^2+|u|^2|z|^2=(1-|u|^2)(1-|z|^2)}?
ça t'as paru évident ou bien l'as tu fais à la fin de ta recherche au brouillon?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 21:00

Effectivement Kaiser ce ne sont que des implications (je ne sais pas si tu peux corriger ça) mais cela dit (comme tu dis) heureusement que ça n'affecte pas la démonstrartion .
vincprof , j'ai d'abord remarqué que toute racine z de Q n'est pas racine de P et doit vérifier 2$\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{|1-\bar{u_k}z|}{|z-u_k|}=1}

Posté par
kaiser Moderateurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 21:03

elhor > corrigé !

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 21:28

Un grand MERCI à notre modérateur Kaiser

Posté par
vincprofre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 21:30

ok merci du renseignement elhor_abdelahi

Posté par
kaiser Moderateurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 21:34

elhor > mais je t'en prie !

Posté par Bluberry (invité)re : un chtit'exo sur les polynômes ! 19-03-07 à 23:05

Bravo à ceux qui ont résolu cet exercice.
Pour ma part, j'ai séché et j'esperais qu'il y aurait une réponse, mais pas aussi rapidement!

Posté par
Camélia Correcteurre : un chtit'exo sur les polynômes ! 20-03-07 à 14:49

Bonjour Bluberry et bienvenue!
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