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Un exercice d'approfondissement

Posté par
Nate324
17-04-20 à 17:22

Bonjour ,

Je bloque a une question d'un exercice , dont voici l'énoncé :

ÉNONCÉ :

1.Prouver que pour tout réels x>0 \frac{1}{1+x}\leq ln(1+x)-ln(x)\leq \frac{1}{x}


Ça okay , J'ai réussi.

2. Déterminer la limite de la suite (Un) définie par Un={\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}} pour tout n entier naturel non nul.

Alors là , complétement perdu , est ce que je dois me servir de la question 1 ) , si oui comment ? Je ne sais pas du tout comment m'y prendre ...

Un peu d'aide s'il vous plaît.

Posté par
malou Webmaster
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:27

bonjour
je tenterais volontiers de remplacer x par 1,2,3 etc...dans la double inégalité...
rien que pour voir

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:30

Pardon mais je n'ai pas compris Comment ça remplacer ?  Écrire plusieurs fois l'inégalité avec 1 , 2 , 3 ect ... à la place de x?

Posté par
Mateo_13
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:33

Oui, tu fais cela sur plusieurs lignes, puis tu ajoutes membre à membre toutes ces inégalités, et tu vas observer des simplifications dans l'expression du milieu.

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:40

{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k+1}}}\leq ln(n)\leq {\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}}


Je trouve ça ? Et donc ln(n) tend vers infini , donc par théorème de comparaison la suite Un tend vers infini ? C'est juste ?

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:49

J'ai faux ?

Posté par
malou Webmaster
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 17:57

je pense que tu as une erreur sur le terme du milieu

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 18:35

Non , ou alors je ne vois pas

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 17-04-20 à 18:37

En tout cas le raisonnement est juste ? Non ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un exercice d'approfondissement 18-04-20 à 18:03

Bonjour,
As-tu écrit les inégalités avec 1 , 2 , 3 et n à la place de x ?
Les as-tu écrites les unes en dessous des autres avec des pointillés entre celle avec 3 et celle avec n ?
Si tu ne voies pas ton erreur, recopie ici ces inégalités.

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 18-04-20 à 20:00

{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k+1}}}\leq [ln(2)-ln(1)]+[ln(3)-ln(2)]+[ln(4)-ln(3)] +....... [ln(n+1)-ln(n)]\leq {\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}}

Donc a la fin il reste finalement ln(n+1) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un exercice d'approfondissement 18-04-20 à 20:59

A ton avis ?

Posté par
Nate324
re : Un exercice d'approfondissement 19-04-20 à 00:43

Ok merci pour ces éclaircissements.



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