Après avoir passé la moitié des vacances à se la couler douce, je me suis remis au travail. Mais quelle  ne fut pas ma surprise d'être entravé dans mon élan par cet exercice (bon j'arrête la poésie à 0.30 centimes d'euro ) :
1) Soit G un sous-groupe de (,+) non réduit à {0}
  a) Montrer que l'ensemble G[[1;+]] possède un plus petit élément, que l'on note p.
  b) Soit x un élément de G et soit r le reste de la division euclidienne de x par p.
     Montrer que r appartient à G et en déduire que x appartient à p.
  c) Montrer que G=p
2) Caractériser les sous groupes de (,+)

PS : pour les admins. Me suis gouré une fois encore en postant et une fois encore le même post se trouve dans la section terminale Désolé désolé désolé

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Salut!

Qu'est-ce qui pose probleme exactement?
Tu as deja fait quelque chose (ou essaye?)?

biondo

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Bah pour la première question c'est bizarre, si on considère que xG, x inférieur strict à 0, ou plutôt que que G correspond à _-^*, G[[1;+]]=. Et qui a jamais dit que l'ensemble vide admettait un plus petit élément

Ensuite pour la question de l'appartenance à G de r, j'ai retourné l'équation dans tous les sens mais impossible de trouver la condition qui me permetterait de dire que rG. Quant à p je sais même pas ce que ça veut dire..

Et enfin caractériser c'est pareil : ça veut dire quoi?

Voili voilou..

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D'accord...

On va y aller dans l'ordre, dans ce cas.

1.a)

G est un groupe. En particulier, parmi les axiomes de definition d'un groupe, on trouve l'existence de l'inverse de chaque element, avec l'inverse appartenant au groupe.

Donc on en peut pas avoir G qui correspond a Z-*...

EN fait, puisque G n'est pas reduit a 0, il existe un a non nul de G. On peut choisir a positif, car d'apres ce qu'on vient de dire, si a<0, alors -a est positif et appartient a G, on prendra alors plutot cet elemnt-la. a est aussi un element de Z par definition. Donc a superieur ou egal a 1, et G inter [1,+inf[ est non vide.

De plus, G inter [1,+inf[ est une partie de N (les entiers anturels) minoree (par 1, par exemple).

Donc on sait qu'il existe un plus petit element de cette partie.


1.b)

Tu as du ecrire une relation entre x et r. Applique les proprietes d'un groupe muni de l'addition... N'oublie pas que p est un element du groupe.

Tu as fait la division euclidienne: quelles sont les conditions verifiees par le reste r, par rapport a p?

pZ, c'est l'ensemble des multiples de p.


A+
biondo

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Pour la question 1)b), j'ai écrit que xG, k tel que x=k*p + r avec r inférieur strict à p. Donc r = x - k*p le problème c'est que si p appartient à G (ça c'est sûr) k*p lui n'appartient pas forcément à G non?

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Help! siou plait j'arrive pas à démontrer que r appartient à G

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Ah ben si.

Si p appartient a G, alors k.p aussi, avec k entier relatif.

Si tu n'en est pas convaincu, ca se montre (par recurrence pour k entier naturel, et pour les entiers negatifs, comme -k.p sera un element de G...).

Donc?

biondo

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Ah....?! bon je fais confiance à ceux qui connaissent mieux
Dans ce cas c'est évident r appartient à G.
Et pis pour x appartient à pZ, je me disais que r appartient à G et r appartient à N (étant donné que c'est un reste dans une division euclidienne). Par ailleur r inférieur strict à p. Or p est le plus petit élément de G[1;+], soit p=1 donc r=0 d'où x - k*p = 0 d'où x appartient à pZ. C'est ça??

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Le raisonnement est bon (sur le fait que p est le plus petit element donc bla bla...).

Mais il ne faut pas juste me faire confiance sous prétexte que je connais mieux (ce qui est très discutable à mona vis, en plus...). Si ca n'est pas évident pouyr toi, je te conseille d'en faire la démonstration (au moins sur un morceau de brouillon quelque part), comme je l'ai dit, par récurrence.

Comment tu conclus ensuite sur le c)?

biondo

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Bah en fait si k*p sont les itérés k-ièmes de p et c'est dans mon cours que les itérés appartiennent au groupe. Enfin un truc dans le genre.

A partir de là, pZ est aussi un sous-groupe de G. Et x = k*p d'où xpZ et G  = pZ

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Oui.

On a montré que si x appartient à G, alors x appartient à pZ.
Et effectivement, réciproquement, puisque p est un élément de G, pZ est inclus dans G.

Double inclusion, égalité.

Bonne fin de vacances...
biondo

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Merci

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