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Un idéal engendré par un unique polynôme
Bonsoir,
je n'arrive pas à montrer le résultat suivant :
L/K une extension, a dans L, a algébrique sur K.
Montrer que l'ensemble est un idéal de
, engendré par un unique polynôme unitaire irréductible
.
Bonsoir,
Montrer que c'est un idéal n'est pas très compliqué.
Tu appliques juste les définitions (F-G(a) = 0 PF(a)=0), etc...
Pour montrer qu'il est engendré par un polynôme P, tu prends celui de degré minimal non nul. (Il existe car algébrique) Tu appliques ensuite la division euclidienne dans K[X].
L'unicité est triviale : S'ils étaient deux, ils se diviseraient l'un et l'autre car ils s'engendreraient l'un et l'autre, et vu qu'ils sont unitaires, ce sont les mêmes.
L'irréductibilité provient du fait que P est de polynome minimal et que K est intègre. 
Pour idéal :
Je montre, si je note I cette idéal, que I.K[X] est inclus dans I
Soit L1 dans I, donc L1=F1(X) avec F1(a)=0.
Soit L2 dans K[X], donc L2=F2(X) avec F2(X) dans K[X]
On a donc L1.L2=F1(X).F2(X) qui est bien dans I car F1(a).F2(a)=0
C'est bon ?
faut que ton ensemble soit non réduit au polynôme 0 (définition de a algébrique) pour en avoir un minimal non nul, et donc un minimal non nul ET unitaire quitte à diviser par le coeff dominant.
Alors voila ce que j'ai compris :
Cet ensemble est un idéal de K[X] (avec les définitions), non nul car a est algébrique.
Comme K est un corps, K[X] est principal.
Donc cet ensemble est engendré par un élément.
Il reste à prouver que cet élément est un polynôme unitaire, qu'il est irréductible et unique !
ah ok, tu sais que c'est un anneau principal et tutti quanti...
Ca va être plus simple.
K[X] étant principal, ton idéal est engendré par un unique élément unitaire. (Ca tu as du le voir)
Il reste à prouver l'irréductibilité. Il faut que tu utilises le fait que le polynome qui engendre doit être de degré minimal...
On a pas besoin de savoir si cet idéal est premier ou non.
Il va être premier car il est irréductible. (Dans un anneau factoriel (ici on est dans un anneau principal donc c'est bon) premier équivaut à irréductible)
c'est quoi un élément unitaire ?
moi ce que j'ai vu c'est que comme K est un corps, K[X] est principal.
donc I est engendré par un élément.
il n'y a pas d'unique, ou de unitaire.
Un anneau A est principal si tous les idéaux I de A sont engendré par un élément a dans A : on a alors I=aA.
C'est ce que je connais.
Unitaire signifie dont le coefficient dominant est 1.
Oui en plus je crois que je dis une bétise.
Tout idéal d'un anneau principal n'est pas forcément engendré par un polynome unitaire.
Mais ici c'est le cas, K étant un corps, tu peux diviser ton polynome P par son coeff dominant pour qu'il devienne unitaire.
Montrez l'unicité n'est pas compliqué, tu fais comme je t'ai dit plus haut. (L'un divise l'autre et inversement)
Si tu n'es pas convaincu, tu peux le prouver par double inclusion, mais tu vas voir il y a rien de très sorcier.
Salut,
Pour l'unicité, c'est triviale, comme l'a fait remarqué Ju dans son premier post.
Pour l'irréductibilité, suffit de considérer (oh que c'est évident) l'ensemble des polynômes dont a est une de leurs racines. Cet ensemble est non vide, donc l'ensemble des degrés de ces poly aussi. Comme c'est un sous ensemble non vide de N il admet un plus petit élément.
Je te laisse finir.
Bonjour tout le monde,
étant donné que je faisais la meme démo,je ne comprend pas pourquoi le polynome qui est supposé engendré l'idéal est unitaire??
pour l'irréductiblité,je veux bien que Schumi réexpliques
Merci d'avance et désolé de vous importuner.
pour unitaire je crois que j'ai saisi avec la remarque de lolo
mais toujours pas pour l'irréductiblité
Ben tu es dans un anneau de polynome sur un corps K, ca veut dire que tous les polynomes sont "unitaires" au sens que le coeff dominant d'un polynome est toujours une unité.
Si P est un polynome de coeff dominant engendrant un idéal I alors le polynome 1/c P engendre le même idéal et lui est unitaire au sens classique c'est à dire que son coeff dominant est 1. C'est celui qu'on choisisit en genéral mais on peut prendre n'importe quel autre polynome associé (c'est à dire multiplié par une unité de l'anneau qui sont K* (pourquoi?))
En suite un idéal principal est toujours engendré par un unique élément (modulo les inversibles de l'annneau bien sur)
Pour l'irreductibilité, si P n'était pas irreductible, alors on aurait une écriture de la forme P=HQ et par intégrité de K[a] (qui est un sous anneau d'un corps, et même un corps en fait) on a H(a)ou Q(a)=0
Donc P|H ou Q (disons H) et alors Q est une unité de K[X], c'est à dire un élément de K et donc P et H sont associés et P est irreductible.
Voila. J'ai détaillé plus que de raison.
alors Q est une unité de K[X], c'est à dire un élément de K
>un élément de K* non ?
sinon j'ai tout compris!!
(pourquoi?)
>tu me demandes pourquoi K*=K[X]* ??
si c'est ça la question,c'est parce que K est un corps donc en particulier un anneau integre fini
Merci Rodrigo!!
Oui une unité de K[X] est un élément de K* (j'avais oublié l'étoile)
Pour la suite, Q est il un anneau intègre fini?
Quand bien meme je ne vois pas en quoi le fait que K soit un anneau intègre fini (ce qu'il n'est pas necessairement) implique que K*=K[X]*, la vérité est ailleurs...
Pour la suite, Q est il un anneau intègre fini?
>euh non c'est un anneau integre tout court non?
Quand bien meme je ne vois pas en quoi le fait que K soit un anneau intègre fini (ce qu'il n'est pas necessairement) implique que K*=K[X]*, la vérité est ailleurs...
>C'est parce que j'ai vu un truc du genre:
Si A est un anneau integre,alors A*=A[X]*
sinon de maniere générale A[X]*=A*+X.Nil(A)[X]
ou Nil(A) est l'ensemble des nilpotents de A.
Oui, mais il y a une raison tres simple pour laquelle les unités de K[X] sont exactement les unités de K* quand K est un corps...sans utiliser de théorème général
Pour l'irréductibilité si P est minimal et s'écrit QR avec ni Q ni R constants alors
P(a) = 0 entraîne Q(a)R(a) = 0 mézalor un des deux est nul par exemple
Q(a)=0 ce qui contredit la minimalité du degré de P .
C'est quoi la raison trés simple??
Ce que je dis n'est pas faux...K corps donc anneau integre et j'utilise le petit résultat...
de toute façon,si K est un corps,K[X] est un corps, on montre facilement que
P(X).Q(X)=0 si a0 et b0 sont les termes constants de P et Q,on a a0.b0=0 (si a0 et b0 sont non nuls),K étant intégre on voit bien que les inversibles de K[X] sont les meme que ceux de K...
Il y a des non inversibles qui ne sont pas des diviseurs de zero, dans un anneau intègre il y a des non inversibles.
Non, la raison est une raison de degré.
Et le petit résultat comme tu dit c'est justement comme ça qu'il se démontre...
et bien le degré à gauche c'est le degré d'une constante cad 1,à droite le degré de 0 c'est -oo par définition...ok?
J'ai l'impression que tu confonds non inversible et diviseur de zero... Est ce que tu vois la différence entre ces deux notions.
Pour prouver que les inversibles de K[X], sont ceux de K tu ecrit PQ=1 alors deg(P)+deg(Q)=0, et donc les deux degrés sont nuls et ce sont donc des constantes.
bah si on est diviseur de 0 on est pas inversible.
a est un diviseur de 0 si a est non nul et si pour tout b dans un anneau A on a ab=0
et a est inversible dans A si il existe b dans A non nul tel que ab=1.
Effectivement j'avais fait une petite confusion...
Merci bien de me l'avoir fait remarquer!!
Juste une petite correction a est un diviseur s'il existe b non nul tel que ab=0 et pas pour tout b (ce n'est meme jamais vrai si b=1).
ouiDans le message (le plus clair!) posté le 09/12/2007 à 14:29 par Rodrigo, je ne comprend pas pourquoi P|H ??
robby 3 : pourrais tu dire signaler sur le site de http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/
que je (lolo456 là bas) n'arrive plus à répondre aux messages (l'anti-spam m'affiche PATCHAT ) et donc je ne peux le signaler moi-même.
Merci d'avance (désolé pour le MP)
ben n'importe j'ai essayé de répondre à tes questions sur Fp (et à d'autres messages aussi) ; mais tout est bloqué : je suppose qu'il faut le signaler dans le forum "les mathématiques" qui doit parler du site...
Merci encore.
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