Bonjour à tous,
Avant toute chose, joyeux Noël ! Il y a longtemps que je ne suis pas passé sur l'île pour y écrire, mais je suis toujours de très près plein de sujets qui m'intéressent...

Je suis actuellement en train de travailler la notion de treillis. Je rappelle qu'un treillis (E,) est un ensemble ordonné tel que tout ensemble à deux éléments distincts admet un sup et un inf. Dans le cadre de mon exercice, je m'intéresse à un treillis dont toute chaîne bien fondée a une borne supérieure.
Par un raisonnement un peu complexe, on arrive à prouver que chaque partie de l'ensemble admet un inf.

Je voudrais prouver que mon treillis est en fait un treillis complet, c'est-à-dire que chaque partie admet un inf et un sup. Mais c'est là que je bloque : ce qui apparaît comme une question symétrique n'en est pas une, je crois.
Ce qui demeure vrai, c'est que mon treillis a forcément un plus grand élément : ça, je l'obtiens en regardant l'inf de la partie vide.
Sur Internet (notamment wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Treillis_(ensemble_ordonn%C3%A9)#Treillis_complet), l'exercice dont je cherche une solution est souvent traité en raccourci : on prétend qu'un inf-treillis est directement un sup-treillis... Mais pourquoi ?

Je vous remercie d'avance
Effka

PS : je peux toujours considérer l'inf de l'ensemble des majorants d'une partie fixée. Mais comment prouver que c'est un min ? Dans , le théorème de la borne supérieure nous permet d'éviter de nous poser ces questions... Mais ici...