Bonsoir H_aldnoer ;

Tu peux considérer l'application _{(sauf erreur)}

on dois utiliser le théorème de factorisation ?

Si je ne me trompe le résultat demandé est une conséquence du théoème suivant :

Théorème : (dit d'isomorphisme)

Soit un morphisme de groupe alors le groupe quotient est isomorphe au groupe .

Il faut donc montrer que :



l'inclusion est ok, j'ai un peu plus de mal sur l'autre !
si on prend un élément du noyau pourquoi s'écrit-il forcément ?

Bonjour à tous

H_aldnoer > si P vérifie P(0)=0, ça veut dire que 0 est racine de P donc ...


Kaiser

Salut tout le monde,H étant parti,je répond juste que (X-0) divise P...non?

salut robby

oui, et donc c'est fini.

Kaiser

Merci bien!
Le résultat reste correcte si l'on change pour ou ?

En fait, il me semble que c'est vrai si on le remplace par n'importe quel anneau A.

Kaiser

donc de manière général :
est isomorphe à

J'espère ne pas dire de bêtises en disant : oui.
Le théorème de factorisation marche encore et le noyau de l'application définie plus haut est toujours l'ensemble des polynômes factorisables par X.

Kaiser

Pourquoi un doute alors !
lol

Moi sinon j'ai vraiment du mal avec les quotients.
Exemple : ou I est un idéal de A est la surjection canonique : pourquoi est-elle surjective ! Je n'arrive même pas à écrire un élément de A/I

un élément de ce quotient s'écrit x+I où x est dans A (x+I étant l'ensemble des éléments qui s'écrivent x+i avec i dans I).
l'application est celle qui à un élément x dans A lui associe sa classe modulo I, c'est-à-dire x+I, mais A/I c'est justement l'ensemble des classes modulo I, donc s est surjective (plus précisément, la surjectivité de s traduit simplement le fait que pour tout x, la classe de x est non vide, ce qui est clairement le cas car x est dedans).

Kaiser

ah oui!!
D'ailleurs mon prof de td l'avait écri ça!
Regarde mes td H...(d'aileurs pense à me les ramener demain )

merci Kaiser!

Mais je t'en prie !

Merci bien kaiser!
Dans mon post de 18:57, le fait que A soit intègre change-t-il quelque chose ?

Salut,

oui on utilise simplement que si 0 est racine de P alors P=XQ, ceci étant vrai aussi si A est intègre.

On a P=a0+a1X+....anX^n.

P(0)=0 implique que a0 est nul et donc P=X(a1+a2X+...anX^(n-1)) et ceci n'utilise pas l'intégrité.

On utilise juste de la commutativité.

Donc il suffit que A soit commutatif pour qu'il y ait un tel isomorphisme ?

Oui et en général on fait pas trop de polynomes sur un anneau non commutatif.

Merci Cauchy!
Dis moi, j'aimerais savoir est-ce que est intègre ?

ça dépend de A non ?

J'ai pas compris ta question, tu veux dire A[X]/XA[X] plutot?

Dans ce cas comme on a un isomorphisme avec A oui cela dépend de A car le fait d'être intègre ou pas se transporte par isomorphisme.