Bonjour

Pas si farfelu que ça!

Soit f:Z[X]Z/2Z défini par f(P)=cl(P(0)) (où cl(n) désigne la classe modulo 2 de l'entier n); tu vérifieras facilement que c'est un morphisme d'anneaux. Il est évidemment surjectif car f(1)=cl(1). Quel est le noyau? Oh, hasard, c'est pile (2,X). Donc théorème de factorisation, Im(f) est isomorphe à Z[X]/(2,X).

Pour le terme central: On reprend le même f:Z[X]Z/2Z. On remarque que si PQ (mod X), on a P(0)=Q(0), donc f factorise à travers Z[X]/(X). Précisément, si q:Z[X]Z[X]/(X) est la surjection canonique il existe F:Z[X]/(X)Z/2Z telle que f=F o q. Après tu démontres que Ker F=(2) (il s'agit de l'idéal engendré par 2 dans Z[X]/(X)).

_{Il est fondamental que tu comprennes bien cet exo; après tout ce qui est qutient passera très bien!}

(où cl(n) désigne la classe modulo 2 de l'entier n)

J'ai pas compris ceci;
puis est-t-on sur que c'est application est effectivement bien défini ??

re Haldnoer

Cette application est parfaitement définie : Si P est dans Z[X], alors P(0) est un entier. On peut donc prendre sa classe modulo 2 (c'est-à-dire que l'on applique à P(0) la projection canonique )

Kaiser

Donc c'est l'application :
?

oui, ce sont les différentes étapes pour l'application f.

Kaiser

Ok,
maintenant je ne comprend pourquoi si f(1)=cl(1) alors f est surjectif ?

l'image d'un morphisme d'anneau contient toujours 0, donc pour conclure quant à la surjectivité de cette application, il suffit de montrer que cl(1) est dans l'image (car le groupe d'arrivée est constitué des seuls éléments cl(0) et cl(1)), ce qui est le cas car cl(1)=f(1).

Kaiser

OK!

Ensuite on veut montrer que :





J'ai plus de mal pour l'autre inclusion :


on doit utiliser la divison euclidienne ?

non, pas la peine.
Revient à la définition du noyau.

Kaiser

La définition c'est celle-ci :
ssi

?

oui, mais dans ce cas précis ?

Kaiser

Ici on aura donc , je ne vois pas pourquoi P est forcément combinaison linéaire de 2 et X ?

Que signifie cette égalité ?

Kaiser

Soit , soit ?

oui (cela dit le deuxième cas englobe le premier car 2 divise bien 0).
Bref, que représente P(0) par rapport au polynôme P ?

Kaiser

On évalue le polynôme P à coefficient dans en 0 ?

oui mais quand je te demandais ce que représentait P(0) pour P, c'est quelque chose que l'on voit directement sur le polynôme. Qu-est-ce donc ?

Kaiser

c'est le premier coefficient constant ??

C'est bien ça : le terme constant.
Donc un élément du noyau a son terme constant divisible par 2.
Maintenant, conclus.

Kaiser

Ah donc :

eh oui.

Kaiser

Okay!

Maintenant je ne vois pas pourquoi :

Citation :
On remarque que si PQ (mod X), on a P(0)=Q(0)

reviens à la définition de .

Kaiser

c'est bien cela ?

donc en particulier cad il existe tel que soit ,
le terme de droite à un degré 0 et celui de gauche un degré 1 donc ça implique que ?

non.
X ne peut pas diviser un entier (ton "donc en particulier .." est faux).
On a plutôt X divise P-Q (ça OK) donc il existe R un polynôme tel que P-Q=XR. Ensuite, on poursuit le raisonnement.

Kaiser
P.S : je vais dormir, donc @+.

Ok!

A+ merci !!

Re

Sinon, pour le reste c'est OK, ou bien ...

Kaiser

Ok!

donc d'ou

Mais je n'arrive pas à trouver le noyau de l'application F !

si P est dans le noyau de F, fais intervenir R tel que P=q(R) (c'est possible car q est surjective).

Kaiser

F(P)=F(q(R))=f(R)=0

donc R est dans le noyau de f qui est ?

Non, regarde ce que l'on a fait avant. On a déjà déterminé ce noyau ...

Kaiser

Ah mince!



donc R s'écrit :

donc :

oui, et donc ?

Kaiser

on a donc ??

certes, et donc en particulier, P est dans quel ensemble ?

Kaiser

j'espère ne pas dire de bêtise si je dit qu'il est dans l'idéal de engendré par 2 !

oui

Je pense avoir compris (car f surjective, donc F aussi)

C'est ça (il faut aussi vérifier que l'idéal de Z[X]/(2) est bien dans le noyau, mais bon, ça c'est assez simple).

Kaiser

Ok kaiser !

Mais j'ai du mal à comprendre pourquoi c'est aussi le théorème de factorisation ?

c'est quoi A ?

Kaiser

un anneau ?

(en générale Commutatif unitaire)

pourquoi c'est le thm de factorisation ?

reviens à la définition.
(je re)

Oui mais je vois pas !

H_aldnoer > Je ne comprends pas : tu veux la démonstration de ce résultat dans le cas général ?

Kaiser

En faite je ne comprend pas la différence entre et lé théorème de factorisation;

Le théorème de factorisation nous donne :
homomorphisme d'anneau

I un idéal de A, la surjection canonique.



il existe tel que


Ah ok je m'en rend compte en l'écrivant que c'est la même chose lol