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Un nombre à la puissance pi

Posté par
polonoismaths 02-06-10 à 19:06

Bonjour à tous et à toutes,

Nous avons étudié en cette classe de seconde les puissances et je me suis demandé comment on pourrait faire pour exprimer un nombre n à la puissance pi.

J'ai déjà réfléchi à quelques axes : je vais les mettre ci-dessous

Je suis parti de la formule :
\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

Puis logiquement :
n^{\frac{\pi^2}{6}} = n^{\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^2}}

Et ensuite :
n^{\pi^2} = (\prod_{m=1}^\infty n^{\frac{1}{m^2}})^6

Cependant à partir de là je ne sais plus trop .. Je trouve cela, qui me paraît trop long :

n^\pi = \sqrt[\pi]{(\prod_{m=1}^\infty n^{\frac{1}{m^2}})^6}

n^\pi = \sqrt[\sqrt{6(\sum_{q=1}^\infty \frac{1}{q^2})}]{(\prod_{m=1}^\infty n^{\frac{1}{m^2}})^6}

Y aurait-il un moyen de simplifier tout cela ?

Je vous remercie de m'avoir lu.

Cordialement,
Polonoismaths

Posté par
Pierre_Dre : Un nombre à la puissance pi 02-06-10 à 19:17

Bonjour Polonoismaths,

Pourquoi pas  3$n^{\pi}=e^{\pi\ln n}  ?

Posté par
polonoismathsre : Un nombre à la puissance pi 02-06-10 à 21:23

Merci de votre réponse,

Je ne connaît pas cette notation. (e est bien le nombre d'euler ?)
Comment s'appelle-t-elle ? je pourrai ainsi regarder sur internet....

Posté par
Pierre_Dre : Un nombre à la puissance pi 02-06-10 à 22:43

Oui, e est le nombre d'Euler, base des logarithmes "naturels" notés \ln et tel que \ln e=1 ; on a, par définition de ce logarithme naturel : x=e^{\ln x}.

Posté par
polonoismathsre : Un nombre à la puissance pi 02-06-10 à 22:47

Très bien merci beaucoup !

Sinon mon raisonnement est-il correct ainsi que la formule finale ?


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