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Un pavage

Posté par
mathilde921996 26-12-14 à 16:06

Bonjour à tous, et joyeuses fetes,

J'ai un exercice à faire pendant ces vacances  en spécialité math, j'ai tout de même fait une grande partie donc je voudrais juste une confirmation des questions que j'ai faites et un peu d'aide pour la dernière question, merci d'avance.

Voici l'énoncé:
On appelle planche de longueur n une planche découpée en n carrés unité.
On dispose par ailleurs de carrés unité et de dominos constitués de deux carrés unités accolés. Les carrés unités sont rouges, les dominos bleus ou verts.
On note un le nombre de façons de paver une planche de longueur n avec des carrés et des dominos.
Il y a un exemple avec u3=5.

1) Vérifer que u1=1, u2=3 et u4=11 -----------------> OK
2)Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n2, on a la relation un=un-1+2un-2--------------------> OK
3) Je ne sait pas faire de matrice à l'ordinateur, j'écrirai donc A=(an    bn     cn    dn) j'espère que l'on comprendra...

Soit A=(1      2       1      0). éteblir que pour tout entier naturel n2, on a "la matrice colonne " (un       un-1)=A(un-1      un-2) ----------> je ne savais pas trop quoi mettre donc j'ai dit que :

(un     un-1)=A(un-1        un-2) avec A=(1    2       1      0)

4) Soit Q=(1/3)(1    1     -1       2)
Déterminer la matrice P inverse de Q -------------> OK

5) Calculer D=QAP ----------> OK

6) Déduire une expression des éléments de la matrice An en fonction de l'entier naturel non nul n.
J'ai fait D=QAP donc PDQ=PQAPQ avec PQ=I
Donc A=PDQ

7) En déduire pour tout entier naturel non nul n, une expression de un en fonction de n.
C'est pour cette question que je bloque, j'ai tentais quelque chose, mais c'est long je me suis perdue dans les calculs.. De plus vu que je ne sait pas faire les matrices ce serait incompréhensibles...


Voila, merci beaucoup d'avance, je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste..
Désolé pour la présentation également...

Posté par
mathilde921996Un pavage 26-12-14 à 17:19

S'il vous plait??

Posté par
mathafou Moderateurre : Un pavage 26-12-14 à 18:10

Bonjour,

question 3 c'est traduire les formules linéaires que tu as écrit la question d'avant sous la forme d'une multiplication matricielle
pas juste recopier l'énoncé mais dire que chacune des lignes de la matrice A traduit une certaine relation entre un, un-1 et un-2

donc que un = un-1 + 2un-2
se traduit directement par la première ligne de la matrice : un = 1*un-1 + 2*un-2

la deuxième ligne de la matrice traduit que un-1 = 1*un-1 + 0*un-2
c'est cela "établir"

question 6 pas finie
de A = PDQ tu tires A2 = (PDQ)(PDQ) = PD²Q (associativité et QP = I)
etc

de proche en proche (= par récurrence) pour obtenir An = ...

question 7 : il est "facile" d'obtenir une expression générale de Dn ...
d'où on tire l'expression de An et donc l'expression de un en fonction de n

Posté par
mathilde921996Un pavage 26-12-14 à 20:16

Bonsoir,

Merci pour la question 3, je n'avais pas vraiment compris...

Pour la question 6, c'est "seulement" une récurrence?

Et enfin pour la question 7, j'avais trouvé la matrice A^n:

A^n= (  (2/3)*2^n+(1/3)*-1^n            (2/3)*2^n-(2/3)*-1^n         (1/3)*2^n-(1/3)*-1^n       (1/3)*2^n+(2/3)*-1^n   )

Je ne sait pas du tout si cela est justes... Si c'est le cas, c'esta ce niveau que je suis bloquée en fait, je ne sait pas comment passer à un..

Merci beaucoup!

Posté par
mathafou Moderateurre : Un pavage 26-12-14 à 21:23

OK
écrit autrement je trouve pareil

de la relation de récurrence

\begin{pmatrix}u_n \\ u_{n-1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}u_{n-1} \\ u_{n-2}\end{pmatrix}

on tire

\begin{pmatrix}u_3 \\ u_{2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}u_{2} \\ u_{1}\end{pmatrix}

et de façon générale

\begin{pmatrix}u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_{2} \\ u_{1}\end{pmatrix}


et donc en développant, un+1 (et un+2) en fonction de n,
ou, en décalant les indices d'un cran, un en fonction de n

Posté par
mathilde921996un pavage 27-12-14 à 00:00

D'accord je crois que j'ai compris, j'essaierai de m'entraîner sur d'autres exercices car cette question revient souvent...
La récurrence pour la question 6 fonctionne !

Merci pour votre patience et votre aide, et joyeuses fêtes!
Au revoir.

Posté par
mathilde921996un pavage 28-12-14 à 10:47

Bonjour, et désolé de vous déranger encore une fois..

Après réflexion je m'aperçois que je n'ai pas vraiment compris la dernière question, je n'arrive pas a trouver une expression de un correcte...

Merci de votre aide

Posté par
mathafou Moderateurre : Un pavage 28-12-14 à 11:48

la traduction "mécanique" (= je fais juste du copier coller de messages précédents) de
\begin{pmatrix}u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_{2} \\ u_{1}\end{pmatrix}

donne avec ton expression de An

Citation :
A^n= ( (2/3)*2^n+(1/3)*-1^n (2/3)*2^n-(2/3)*-1^n (1/3)*2^n-(1/3)*-1^n (1/3)*2^n+(2/3)*-1^n )

ou écrit autrement :
A^n = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} \\ 2^{n+1}+(-1)^n & 2^{n+1}-2\times(-1)^n \\ \\ 2^n-(-1)^n & 2^n+2\times(-1)^n \\ \end{pmatrix}
en ne gardant que la seule première ligne du produit matriciel :

u_{n+2} = \left(2^{n+1}+(-1)^n\right)\dfrac{u_{2}}{3} + \left(2^{n+1}-2\times(-1)^n\right)\dfrac{u_1}{3}
soit en tenant compte des valeurs numériques de u2=3 et u1=1
et en décalant les indices de 2 crans (en remplaçant n par n-2) :

u_{n} = \left(2^{n-1}+(-1)^n\right) + \dfrac{1}{3}\left(2^{n-1}-2\times(-1)^n\right)
(on peut simplifier en regroupant les termes en 2n et en (-1)n

vérification de cette formule :
u_3 = \left(2^{2}-1\right) + \dfrac{1}{3}\left(2^{2}+2\right) = 3 + 2 = 5

u_4 = \left(2^{3}+1\right) + \dfrac{1}{3}\left(2^{3}-2\right) = 9 + 2 = 11
(OK par rapport à la question 1)
...

Posté par
mathilde921996un pavage 28-12-14 à 13:01

Je vais bien reprendre cela, je n'aurai pas réussi a le faire seule...
J'espère mieux comprendre avec de l'entrainement.

Merci encore

Posté par
Coldplayre : Un pavage 25-01-15 à 21:00


Bonsoir,
Je ne comprends pas un élément :
On obtient la matrice D = 1/3 (  2    0 )
                                             ( 0     -1 )
Mais pourquoi en passant de D à D^n on a toujours 1/3 et pas 1/3^n en facteur ?
En fait , je n'arrive pas à comprendre pourquoi , en passant de D à D^n , on élève seulement les coefficients diagonaux à la puissance n et pas 1/3 ?

De plus , c'est un détail , mais quelque chose m'échappe : on obtient au cours de l'exercice ( à la question 6 il me semble ) : A = PDQ. Seulement , lorsque je calcule le produit PDQ avec ma calculatrice ( après avoir au préalable rentrer les matrices dans ma calculette ) , je n'obtiens pas la matrice A ... Cela est dû à quoi ?

Merci d'avance !! Bonne soirée

Posté par
mathafou Moderateurre : Un pavage 25-01-15 à 22:32

réponse idem autre topic.


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