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Un petit exercice dur les ln et exp
bonjou,
J'ai quelques soucis avec un exo dont j'ai extrait les questions que je n'arrivais pas à faire. Ce serait formidable si vous pourriez m'aider :
"f(x) = (x.lnx)/(x+1)
1. Déterminer la limite de f en 0.
On se propose d'étudier l'équation f(x) = n, où n est un entier naturel non nul.
2. Montrer que pour tout n, cette équation admet une solution 
[n] et une seule (en particulier, [1] = ).
3. a. Etablir que f(e(n) 
n. En déduire que [n]
e(n).
b. Prouver que la relation f([n]) = n peut s'écrire sous la forme :
ln{([n])/(e(n))} = n/([n])
En déduire à l'aide de a., la limite de ([n])/(e(n)) lorsque n tend vers l'infini."
merci d'avance.
Bonjour molp
1) c'est du cours : x.lnx tend vers 0 quand x tend vers 0.
2) Ici, il suffit de faire une simple étude de fonctions et d'utiliser le théorème de la bijection.
3)a)c'est quoi e(n)?
Kaiser
Au fait, je crois que finalement y'a pas besoin de dériver.
ln est positive et strictement croissante sur [1,+
[.
Pour tout x positif, est positive et l'application associée est strictement croissante.
Ainsi, sur [1,+[, f est strictement croissante (car sur cette intervalle, f est le produit de 2 fonctions positives et strictement croissante)
De plus, f est positive sur cet intervalle.
Par ailleurs, f(x) est du signe de ln(x) donc sur ]0,1[, f est strictement négative. Sur cet intervalle, l'équation f(x)=n n'a aucune solution quel que soit n entier naturel.
Autre chose, f est clairement continue et f tend vers + en +, donc comme elle est strictement croissante sur [1,+[ et que f(1)=0, alors l'équation f(x)=n admet une et une seule solution sur cet intervalle.
3)Il suffit de remarquer que pour tout x supérieur à 1, f(x)ln(x) (car ln est positive sur cet intervalle et que .
Ainsi; on a pour tout x supérieur à 1,
On en déduit que
Par suite, . Comme f est croissante sur [1, +
[, alors on en déduit que
kaiser
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