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un petit problème avec les equations différentielles

Posté par
mambojtd35
21-12-11 à 14:58

Bonjour, j'ai plusieurs problèmes sur les équations différentielles à faire pendant les vacances, tous sur le même modèle mais je n'arrive pas à en résoudre un seul... Quelqu'un peut m'aider pour le premier afin que je puisse faire les autres ?

Alors voilà l'énoncer:

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0;+[ vérifiant l'équation différentielle:

(E): xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x2

1.a. Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0;+[ par g(x)=f(x)/x est solution de l'équation différentielle (E'): y'=2y+8

b.Démontrer que si h est solution de (E') alors la fonction f définie par f(x)=xh(x) est solution de (E)

2.Résoudre (E') et en déduire toutes les solutions de (E)

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : un petit problème avec les equations différentielles 21-12-11 à 15:10

Bonjour, on te fait faire un changement de fonction y=f(x)/x donc f(x)=xy et f'(x)=y+xy'
Remplace f et f' dans l'équation différentielle et tu devrais tomber sur (E')

Posté par
mambojtd35
re : un petit problème avec les equations différentielles 21-12-11 à 15:35

d'accord j'ai trouvé et j'ai fait la manipulation inverse pour la question 1.b, j'ai transformé en h(x)= f(x)/x que j'ai remplacé dans l'équation (E') et je trouve l'équation (E), c'est ça?

Posté par
Glapion Moderateur
re : un petit problème avec les equations différentielles 21-12-11 à 15:46

Oui tu peux démontrer la réciproque comme ça, c'est bien.

Posté par
mambojtd35
re : un petit problème avec les equations différentielles 21-12-11 à 15:55

du coup comme ensemble des solutions de l'équation (E) je trouve f((x)= -4x+ke2x

en tout cas merci de ton aide je devrais pouvoir me débrouiller seule pour mes trois exercices restants!



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